Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Равными называются два сонаправленных вектора, имеющих равные модули. Равные векторы также называют свободными.
Два вектора, равные третьему вектору, равны.
Вектор можно перемещать вдоль прямой, совпадающей с его направлением и переносить его параллельно самому себе в любую точку пространства.
D С

A В ↑↑ 
| |=| | = 
В параллелепипеде АВСDА1В1С1 D1 изобразить векторы: сонаправленные, противоположно направленные, равные.
три группы коллинеарных,сонаправленных
D1 C1 векторов: . . .
А1 В1 = - равные векторы
D C
А В
D1 C1 Векторы ;
коллинеарны е, противоположно направленные
А1 В1
D С
Компланарными называются три вектора, если при откладывании их от одной точки они лежат в одной плоскости.
Любые два вектора - компланарные.
Три вектора, два из которых коллинеарные, - компланарные.

В1 С1 Векторы компланарные

А1 D1 

В С

А D
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Координаты точки – это числа, соответствующиеее проекциям на оси координат. Проекциями произвольного отрезка на оси координат являются проекции этого отрезка на оси координат.
Для вектора , имеющего начало в точке О(0;0), координаты точки А являются
координатами вектора. Записывается: { хА; уА }. Такая запись называется: «Запись вектора в координатной форме». Пусть А(3;2), тогда { 3;2 }.
При выполнении действий с векторами единицы масштаба
у называют координатными векторами(ортами) и обозначают: по оси
абсцисс, и по оси ординат и по оси аппликат. В нашем случае = 3 =2 (на плоскости)
проекция вектора на ось 0х равна 3 ; на ось 0у равна 2 .
уА А (3;2)
И по правилу сложения векторов = х +у .
Такая запись называется: «Разложение вектора по ортам»
в нашем случае = 3 +2 .
0 хА х
Если начало вектора не совпадает с началом координат, то координатами вектора являются его проекции на оси координат: (хВ– хА , уВ– уА). И тогда в координатной форме вектор записывается: { (хВ–хА); (уВ–уА) }. В нашем случае: А(1;3), В (4;5), и в координатной форме вектор записывается: { 3; 2 }, а егоразложение по ортам: = 3 + 2 .
у 
уВ В (4;5) В прямоугольном треугольнике АСВ: катеты АС и ВС,
гипотенуза - вектор { 3; 2 }, и по теореме Пифагора
у длина вектора, или его модуль вычисляется по формуле
| | = , (1)если
уА А(1;3) С заданы координаты точек А и В;
или | | = , (2)если
векторзадан в координатной форме или в виде
0 хА х хВ х разложения по ортам.
Если 0х, то проекции точек А и В совпадают и проекция вектора ось 0х равна 0
у z Для трехмерного пространства
пр.Оz 


пр.Оу 
0у
Х
На плоскости пр.Ох = 0
х
Для трехмерного пространства во всех формулах добавляется третья координата:
{ (хВ–хА); (уВ–уА);(zB - zA)},
= x + y +z 
| | = .
Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью: пр.Ох = | | ·cos .
Проекция вектора на ось положительное число (+),если
направление вектора совпадает с положительным направлением оси,
х т.е. = пр.Ох = | | ·cos .
Проекция вектора на ось отрицательное число (–),если
вектор и ось имеют противоположные направления.
или если < < π пр.Ох = - | | ·cos .

х
1.Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны.
2. В данной системе координат каждый вектор имеет единственный набор координат.
3. Координаты вектора, отложенного от произвольной точки, равны разности соответствующих координат его конца и начала.
4.Векторы параллельны (коллинеарные) тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны
1.Записать координаты вектора: = 4 + 5 + 3 z
= 4 + 5 +3 { 4; 5; 3}
Графически это означает: 3 
А (4;5; 3)

0 5 у
4 
х А1(4;5)
2. Записать координаты векторов:
= – 4 + – { –4; 1; –1 }
= – 2 + { 0; – 2; 1 } ; = + { 0; 1; 1}
= – {–1; 0; 1 }; = 0,7 { 0; 0; 0,7}
3. Если вектор отложен от начала координат, то координаты вектора равны координатам конца вектора. Векторы 1 ; 1; 1; 1 в этом случае называются радиус-векторами.
Упрямоугольного параллелепипеда ОА = 2, ОС = 3, ОО1 = 2.
Найдите координаты векторов 1 ; 1; 1; ; ; ;
z
O1 А1 (2; 0; 2) 1 { 2; 0;2 } 1 = 2 + 2 ,
С1
A1 В1
2
O 3 С В1 ( 2; 3; 2) 1 { 2; 3; 2} 1 = 2 + 3 + 2 
2 у
х A BО1( 0; 0; 2) 1 { 0; 0; 2} 1 = 2 ,
С1(0,3;2); О1(0,0;2); А(2,0;0); С(0,3;0); В( 2; 3; 0)
{ - 2,3; 2 } ; {- 2, 0; 2 } ; { 0; 3; -2}
4.Найти длину радиус- векторов , , , если А(0,2;5); В(-1; 3; ); С(3; -2; 2 ).
| | = = = 
| | = = = 4
| | = = = 5
5.Даны две координаты вектора {4; -12; z} . Найти его третью координату, если:| | =13
| | = 132 = 16 + 144 + z2 z2 = 9 z = ± 3
6. Какие координаты имеет вектор , если А(1;2;3): = + 2 + 3 
А(-5;4;-1): = -5 + 4 - 
7. Назовите координаты векторов: а) =– 2 + 6 ={ – 2; 6 }
б) = + 3 { 1; 3} в) = – 3 { 0;– 3} d) = – 5 { –5; 0}
8. Разложите по координатным векторам , если А(0;0;2) и С(0;2;0)
= 0 + 2 –2 , = 2 –2 
8. Даны точки А(2; –3: 0); В(7; –12; 18); С (–8; 0; 5). Записать координаты векторов
; ; { 2; –3: 0} { 7; –12; 18 } { –8; 0; 5}
Письменно ответьте на вопросы
- Что называется вектором?
- Что называется модулем вектора?
- Какие векторы называются нулевыми? Равными?
- Какие векторы называются коллинеарными? Компланарными?
- Что называется координатами вектора?
- В каком случае координата вектора равна нулю?
- Сформулируйте признак коллинеарности векторов.
- В каком случае все три координаты вектора равны нулю?
- Что называется разложением вектора по координатным векторам?
- Что означают числа х, у, z при записи вектора в координатной форме?
- Какова связь между проекцией вектора на ось, модулем вектора и углом между вектором и координатной осью?
Выполните задания:
1.Даны векторы { 3; 2; 1} ; { 1; –3; 5 } ; { – ; 0,75; –2 } . Запишите координаты точек А(2; –3: 0); В(7; –12; 18); С (–8; 0; 5).
2. Запишите в координатной форме ВС, если С(-2; 1; 3); В(3; -2; 1)
3. Вершины куба имеют координаты А(3;-1;1); В(-1;-1;1); С(-1; 3; 1); С1 (-1; 3; 5).
а) найдите координаты вершин В1 и D1
б) разложите по координатным векторам векторы: и 
4. Векторы и равны. Найдите координаты точки А, если { – 1; 2; 4 } и С(2;0;5)
5. Определить, при каких значениях т векторы и равны, если { 2т; 2 } и {т; 1}.
6. Найдите значения т и п, при которых векторы и удут коллинеарными, если { 1; – 2; т },
{ п; 6; 3 }.
7. Векторы { 10; т; 5 } и { п; 3; 2} коллинеарные. Найти значения т и п .
8.Даны точки А(2; –3: 0); В(7; –12; 18); С (–8; 0; 5). Записать координаты векторов
; ; 
9. Найти координаты вершины D параллелограмма АВСD, если А(3; 0; 1); В(4; 2; –1); С (1; 2; 5);
10. Проверить, являются ли точки А(– 4; – 4); В(–3; 4); С (4; 5); D(10; –2) вершинами трапеции
АВСD.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО.
Векторная алгебра - раздел математики, изучающий векторы. Векторная алгебра является одним из основных средств исследования в физике и разных разделах математики. В векторной форме записываются многие законы физики и механики, И в геометрии аппарат векторов позволяет кратко записывать формулировки задач и их решения, например, теорема о средней линии треугольника в векторной форме записывается так
А , а доказывается в одну строку:
К L 
В С
Чтобы объединить преимущества координатного и векторного методов, для векторов введены координаты. Это позволяет свести действия с векторами к аналогичным действиям с их координатами, и проводить действия с векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные множители.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2025 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|