Свойства линейной функции.

1) Область определения — множество всех действительных чи­сел R.

2) Область изменения (множество значений) при k ≠ 0 — мно­жество всех действительных чисел. При k = 0 множество значений функции состоит из одной точки b.

3) При k ≠ 0 и b ≠ 0 функция не является ни четной, ни нечетной. При k =0 (b — любое) функция четная, при b = 0 и k≠0 — нечетная.

4) Линейная функция непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси; ее производная в каждой точке равна k.

5) Линейная функция не имеет экстремумов ни при каких значе­ниях k и b. При k ≠ 0 критических точек нет. При k = 0 каждая точка является критической точкой функции.

6) При k > 0 линейная функция возрастает при всех R, при k < 0 убывает при всех х R, при k = 0 постоянна.

7) График линейной функции пересекает ось Оу в точке у=b. При k≠ 0 график пересекает ось Ох в точке х = —b/k, при k = 0 он параллелен оси Ох.

Обратно пропорциональная зависимость

Переменную у называют обратно пропорциональной переменной х, если значения этих переменных связаны равенством у= k/x, где k — некоторое действительное число, отличное от нуля. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Если считать х независимой переменной, a y — зависимой, то уравнение у = k/x определяет у как функцию от х. График функции у = k/x называется гиперболой,

Свойства функции f (х) = k/x

1) Область определения — множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

2) Область изменения (множество значений) — множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

3) Функция f (х) = k/x— нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат. Она непрерывна и дифференцируема во всей области определения; f' (х} = — k/x², критических точек не имеет.

4) Функция f (х) = k/x при k > 0 монотонно убывает на проме­жутках в (— ∞, 0) и (0, + ∞), а при k <0 монотонно возрастает на тех же промежутках.

5) График функции у = k/x при k > 0 в промежутке (0; + ∞) направлен вогнутостью вверх, а в промежутке (— ∞, 0) — вогнуто­стью вниз. При k < 0 промежуток вогнутости вверх — (— ∞; 0), а промежуток вогнутости вниз — (0; + ∞).

Квадратичная функция

Функция f (x) = ах² + bх + с, где а, b, с — некоторые действи­тельные числа (а ≠ 0), называется квадратичной функцией. График квадратичной функции называется параболой.

Свойства квадратичной функции и ее гра­фик.

1) Область определения — вся числовая прямая.

2) При b ≠ 0 функция не является четной к не является нечетной. При b= 0 квадратичная функция — четная.

3) Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.

4) Функция имеет единственную критическую точку х =-b/(2а). Если а > 0, то в точке х = —b/(2а) функция имеет мини­мум. При х < —b/(2а) функция монотонно убывает, при х > —b/(2а) монотонно возрастает.

Если а < 0, то в точке х = —b/(2а) функция имеет максимум. При х < —b/(2а) функция монотонно возрастает, при х > — b/(2а) монотонно убывает.

Точка графика квадратичной функции с абсциссой х_в = -b/(2а) и ординатой у_в=f(x_в) называется вершиной параболы.

5) Область изменения функции: при а > 0—множество значение функции—промежуток (y_в;+ ∞); при а < 0 — множество значении функции — промежуток (-∞;y_в)

6) График квадратичной функции пересекается с осью Оу в точке у = с. В случае, если b²— 4ас > 0, график квадратичной функции пересекает ось Ох в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b²— 4ас = 0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции ка­сается оси Од: в точке х = — b/(2а); если b² — 4ас < 0, пересечения с осью Ох нет.

График функции симметричен относительно прямой x = —b/(2а).

Степенная функция

Степенной функцией называется функция вида f (х) = х^а, где а — любое действительное число, называемое показателем степени.

Свойства степенной функции.

1)Область определения — множество всех положительных чисел.Область изменения — множество всех положительных чисел.

2)Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.

3) Степенная функция непрерывна во всей области определения.

4) Степенная функция дифференцируема во всей области опреде­ления, и ее производная вычисляется по формуле

5) Степенная функция х^а монотонно возрастает во всей области определения при а > 0 и монотонно убывает при а <0.

6) При а < 0 и а > 1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0 < а < 1 — вогнутостью вниз.

Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида f (х) = а^x, где а — некоторое положительное действительное число, называемое основанием степени. При а = 1 значение показательной функции при любом значении аргумента равно единице, и случай а = 1 далее не будет рассматриваться.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: