Аксиомы теории вероятности.

1. Вероятность любого события больше либо равна нулю.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей.

Следствия

1. если события попарно несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей.
2. если события образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице.
3. вероятность противоположного события в сумме с исходным событием равна единице.
4. вероятность невозможного события равна нулю.
5. вероятность любого события не превосходит единицы .
6. если событие В следует из события А, то вероятность события А меньше или равна вероятности события В.
7. Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей минус вероятность их произведения.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Рассмотрим некоторую функцию у =f(х), заданную в ин­тервале (а, b), и точку x, принадлежащую ему. Зададим в этой точке приращение ∆х, такое, что х+∆х (а, b). В этом случае функция получает приращение ∆f(x) = f(x +∆x) – f(x).

Производной функции f(x) в точке х называют предел отношения приращения функции ∆f(x) к приращению аргумента ∆х, когда ∆х стремится к нулю:

.

Рассмотрим геометрический смысл производной. Пусть дана некоторая функция f(х). Значение производной этой функции в точке х₀ равно угловому коэффициенту (касательной, проведенной к графику функции через точку (х₀, y₀), где y₀=f(x₀):

Уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке М(х₀, у₀), в общем виде записывается следующим образом: .

Физический смысл производной заключается в следующем: пусть зависимость пути, пройденного материальной точкой, от времени описывается функцией s =f(t). Производная этой функции в точке t₀ равна значению мгновенной скорости дви­жения материальной точки в данный момент времени:

.

Экономический смыслпроизводной рассмотрим на примере производственной функции. Производственной называют функцию, устанавливающую зависимость объема выпускае­мой продукции Q от величины затрат х: Q =f(x).

Производная данной функции показывает, насколько из­менится объем выпуска продукции при увеличении затрат на единицу, т.е. эффективность затрат. Таким образом, произ­водная характеризует эффективность определенного эконо­мического фактора.

Перечислим правила дифференцирования:

1. С' = 0;
2. (u ± v)' = u' + v';
3. (uv)' = u' v+v'u;
4. (Cf)' = Cf ';
5. .

Производная сложной функции вида y = f(g(x)) равна y' = f'(g(x))g'(x).

Приведем таблицу производных основных элементарных функций:

1. (kx + b)' = k'

2. (хⁿ)'= пх^n-1;

3. (х²)'=2х;

4. ;

5. sin'x = cosx;

6. cos'x = -sinx;

Дифференциалом функции у = f(x) называют главную линей­ную относительно ∆х часть приращения ∆у. Дифференциал функции обозначают dy или df(x). Как следует из определения, dy = А∆х.

Для выяснения геометрического смысла дифференциала рассмотрим график функции у(х). Приращение функции ∆у = у₁ - у₀ можно представить в виде у = АС=АВ + ВС. Найдем катет ВС ∆МВС:

ВС = MС · tga = (х₁ - x₀) tgα = ∆xy'.

Тогда ∆у = у'∆х + АВ. Отсюда следует, что приращение у со­стоит из двух частей, причем главная линейно зависимая отно­сительно ∆х часть приращения имеет вид у'∆х, т.е. dy = y'∆x. Для функции у = х последняя формула примет вид dx = x'∆x, а так как х' = 1, имеем dx = ∆x.C учетом этого факта выраже­ние для дифференциала функции примет вид dy = y'dx.

При достаточно малых приращениях ∆y = dy. Это соотношение можно использовать для приближенных вычислений качений функции. Учитывая, что ∆у = у-у₀ и dx = ∆х, получаем формулу для приближенных вычислений:

у = у₀ + у'∆х.

Производной второго порядка или второй производной у" называют производную от первой производной: у" = (y')'.

Разрыв функции.

С понятием предела функ­ции тесно связано другое важное понятие математического анализа — понятие непрерывности функции.

Рассмотрим функцию f(x), определенную на некотором промежут­ке. Пусть х₀ — некоторая точка этого промежутка, в которой функция имеет значение f(x₀). В определении предела функции f(х) при х, стремящемся к x₀, отмечалось, что число х₀ может и не принадлежать области определения функции f(x), а если число х₀ и принад­лежит области определения, значение функции в этой точке при изу­чении предела нас не интересовало.

Однако большой интерес представляет именно случай, когда

(1)

Говорят, что функция / (х) непрерывна в точке х₀, если выполняется равенство (1); если же равенство (I) не выполняется, то говорят, что в точке х₀ функция терпит разрыв.

Таким образом, выяснение вопроса о непрерывности функции f(х) в какой-либо точке х₀, принадлежащей области определения функции, сводится к вычислению предела функции в точке х₀ и проверке справед­ливости равенства (1).

Если функция f(х) определена на промежутке (а, b) и непрерывна в каждой точке промежутка, то говоря, что функция непрерывнана этом промежутке.

Основные теоремы о непрерывных функциях.Непрерывность элементарных функций.

1) Если функции f (х) и g (х) определены на промежутке (а,b) и непрерывны в точке х₀ (а,b), то в этой точке функции

также непрерывны (последняя функция непрерывна при условии, что g (x₀) ≠ 0).

2) Если функция у=f (х) непрерывна в точке x₀, а функция g(y) непрерывна в точке у₀ = f (х₀), то и сложная функция g (f(х)) непре­рывна в точке х₀.

3) Первая теорема Больцано — Коши. Если функция f(х) задана на промежутке [а;b] и непрерывна в промежутке (a; b) и если на концах промежутка значения функции f (а) и f (b) имеют разные знаки, то между а и b существует (по крайней мере одно) такое значение х₀, прикотором f(х) обращается в нуль:

Теорема Больцано—Коши находит весьма неожиданное примене­ние при решении алгебраических уравнений, а именно, она позволяет доказать, что любое алгебраическое уравнение нечетной степени с дей­ствительными коэффициентами

имеет по крайней мере один действительный корень.

4) Первая теорема Beйерштрасса. Если функция f (х) определена и непрерывна на промежутке [а, b], то она ограничена па этом промежутке, т. е. существуют такие два числа т и М, что для всех х [a,b] имеет место неравенство

Односторонняя непрерывность.Классификация разрывов функций. Пусть функция f (x) определена на промежутке (а; x₀]. Говорят, что функция f (x) непрерывна в точке x₀ слева, если

(2)

Аналогично, функция f (х), определенная на промежутке [х₀; b), непрерывна в точке x₀ справа, если

(3)

Если равенство (2) не выполнятся, то говорят, что функция f(х) разрывна в точке х₀ слева, если не выполняется равенство (3), то функция разрывна в точке х₀ справа.

Если функция f (x) определена на промежутке (а; b) и точка х₀ (а,b), то для непрерывности функции f (х) в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы функция f (х) была непрерывна слева и справа в точке x₀.

Различают следующие виды разрывов функции в точке: разрывы первого рода и разрывы второго рода.

Перечень разрывов первого рода приведен в табл, 7, Если хотя бы один из односторонних пределов в точке x₀ не сущест­вует или равен +∞ (—∞), то говорят, что функция f(х) имеет в точке х₀ разрыв второго рода (точка х₀ может как принадлежать, так и не принадлежать области определения функции). Примером функции, имеющей разрыв второго рода, может служить функция

Функция. График.

Применение методов дифференциального исчислении позволяет проанализировать поведение функции на всей области ее определения. Для проведения такого анализа необхо­димо дать определения критической точки, экстремума функции, точки перегиба и др.

Точка x₀, принадлежащая области определения функции f(x) называется точкой максимума (минимума),если существует та­кое δ > 0, что для любого х ≠ х₀ из интервала (х₀ - δ, х₀ + δ) выполняется неравенство f(х)<f(х₀) (f(x) <f(х₀)).

Точки минимума и максимума называют точками экстре­мума функции.

Необходимое условие экстремумазаключается в следую­щем: если точка x₀ является точкой экстремума функции f(х) и в этой точке существует f'(.х), то f'(x) = 0. Точки, в кото­рых f'(x) ⁼ 0, называют критическими точками 1-го рода.

Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида f (x) =kх + b,

где k и b— некоторые числа.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: