Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными:

или в виде вектор – функции

Разложим левые части уравнений в ряд Тейлора в окрестности точки , ограничившись производными первого порядка.

Введем в рассмотрение вектора и матрицы:

Тогда полученное разложение можно записать компактно в матричной форме:

, где .

Матрица получила название матрицы Якоби. Элемент матрицы Якоби, стоящий на пересечении i-ой строки и j- столбца равен производной от i-го уравнения по j-ой переменной . Матрица Якоби является аналогом производной вектор – функции.

Линеаризация уравнений в окрестности точки позволяет записать рекуррентное соотношение метода Ньютона , .

Пример: Для решения системы УУН, соответствующей рис. 6.2 методом Ньютона выполнить одну итерацию.

.

Матрица Якоби имеет вид:

.

В качестве начальных приближений примем напряжения узлов равными напряжению базисного узла .

Вектор функций невязок мощности в узлах

.

Матрица Якоби

Для получения первого приближения решается система линейных уравнений:

, откуда

и ;

.

Для выполнения второй итерации нужно вычислить вектор =(-0,0086; -0,0029)^t, найти значения матрицы Якоби

=

и вновь решить систему уравнений относительно вектора . Здесь . В результате второй итерации будет получено практически точное решение и .

6.2. Методы простой итерации и Зейделя-Гаусса

Рассмотрим нелинейное уравнение с одной переменной. Для получения рекуррентного соотношения простой итерации его нужно преобразовать к виду .

Ход итерационного процесса можно проследить графически, построив отдельно левую и правую части рекуррентного соотношения. Для произвольно взятого х⁰ проводится вертикаль до пересечения с . Значение будет принято в качестве х¹ . Поскольку функция y=x имеет угол наклона равный 45⁰, то х¹ находится как абсцисса точки пересечения горизонтали с прямой y=x (рис. 6.3).

Возможны следующие реализации итерационного процесса: монотонная сходимость, , рис. 6.3, а; монотонная расходимость, , рис. 6.3, b, колебательная сходимость; рис. 6.4, а; колебательная расходимость, рис. 6.4, b.

Рис. 6.3. Метод постой итерации, монотонный процесс : а) ; b)

Рис. 6.4. Метод постой итерации, колебательный процесс : а) ; b)

Критерий сходимости метода простой итерации

Для того чтобы итерационный процесс метода простой итерации сходился достаточно, чтобы для всех выполнялось условие , которое можно рассматривать как критериальное.

Для доказательства этого запишем рекуррентные выражения двух соседних итераций . Отсюда

.

Разложим функцию j в окрестности в ряд Тейлора:

.

Отсюда

.

Для обеспечения сходимости необходимо, чтобы . Это возможно лишь в том случае, когда , что и требовалось доказать.

Приведенный анализ показывает основные проблемы итерационных процессов, присущих не только методу простой итерации, но и всем остальным итерационным методам: сходимость или расходимость процесса, критерий и характер сходимости (монотонная, колебательная). Расходящийся итерационный процесс еще не говорит об отсутствии решения. Решение может быть найдено использованием иного математического метода или иной структурой рекуррентного соотношения.

Пример. Рассмотрим уравнение УУН. соответствующее рис. 6.5 .

Выражая из первого слагаемого переменную х, получим соотношение: , которое легко представить в виде рекуррентного выражения: .

Примем начальное приближение . Тогда:

.

После семи итераций получается точное решение .

Легко проверить, что критерий сходимости выполняется, как в точке начального приближения, так и для всех , k=1,2,…, т.к. при всех x>71,41.

Следует отметить, что рассматриваемое уравнение имеет еще один корень , но получить это решение по представленному рекуррентному соотношению не удается, даже если взять начальное приближение в непосредственной близости от . В то же время, если исходное уравнение записать в виде и выразить из этого уравнения , то соответствующее рекуррентное соотношение обеспечивает сходимость к корню .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: