Размерность линейного пространства
Пусть R – линейное пространство. Вектора ,i =1,…,n называются линейно – независимыми, если выражение:
| (7.1 )
| справедливо лишь в том случае, когда все a1,a2,…,an, равны нулю. Если в (7.1 ) хотя бы один коэффициент не равен нулю, то вектора являются линейно-зависимыми и при этом существует хотя бы один вектор, который может быть выражен через другие:
Линейное пространство называется n-мерным (Rn), если в нем существует n линейно независимых векторов и любые n+1 векторов связаны линейной зависимостью. Например, в R2 третий вектор является линейной комбинацией линейно-независимых векторов : .
Базис и координаты в n-мерном пространстве
Совокупность каких-либо n линейно независимых векторов называются базисом n-мерного пространства.
Любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов , т.е. существуют такие числа хi, i=1,…,n, что
.
Числа xi называются координатами вектора в базисе .
Используя частный случай единичных базисных векторов
можно любой набор n чисел (x1, x2 …xn) представить вектором линейного пространства Rn, причем числа xi являются координатами этого вектора в базисе единичных векторов . Если при этом , то
,
т.е. координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат.
Понятие базиса и координат вектора Х произвольной природы в базисе позволяет свести вектора любого характера к векторам, представляющим собой систему n чисел. Например, многочлены
можно представить через базис
,
в котором , т.е. множество полиномов степениn представляется как линейное пространство Rn+1. Этот результат справедлив для любых векторов и в общем виде сводится к алгебраической неразличимости (изоморфизму) векторов любой природы, но одинаковой размерности.
Евклидово пространство
Линейное пространство Rnвекторов над полем Р вещественных чисел называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, где каждой паре векторов Î Rn поставлено в соответствие число, обозначаемое через и обладающее следующими свойствами:
и только если .
Ортонормированный базис это базис { , i=1,…,n}, где ( , )=0; ( , )=1
В ортонормированном базисе координаты вектора могут быть выражены через скалярное произведение , т.е. xi является проекцией вектора на вектор . Действительно, , поскольку в силу ортонормированности
В ортонормированном и только в ортонормированном базисе евклидового пространства для векторов – столбцов чисел – скалярное произведение может быть определено как , где -вектор строка.
По аналогии с трехмерным пространством можно определить понятие длины или модуля вектора:
, и угла между векторами: .
Скалярное произведение в произвольном базисе представляется более сложной функциональной зависимостью
, где
Пример. Пусть , (рис. 7.2).
Матрица коэффициентов
В результате .
Рис. 7.2. Произвольный базис
| В пространстве С[a,b] функций, определенных на отрезке [a,b] скалярное произведение
.
Из соотношений, характеризующих скалярное произведение векторов в пространстве непрерывных функций, следуют очень полезные в практических приложениях для предельных оценок
Неравенство Коши-Буняковского
;
Неравенство треугольника (Минковского)
.
Линейные преобразования
В линейном пространстве можно ввести функцию, ставящую в соответствие любому вектору некоторый вектор того же пространства:
,
где – функция преобразования пространства. Обозначение - называется оператором. Если вектор принадлежит одному пространству, ÎV, а вектор другому, , то говорят о преобразовании пространств V®W. Если пространство преобразуется в себя V®V, то это линейное преобразование.
Вектор - это образ вектора под действием преобразования , а вектор - прообраз вектора .
Преобразование называется линейным, если
1) ;
2) .
Пусть – некоторый базис в n- мерном пространстве Rn и – линейное преобразование, тогда для его определения достаточно задать образы всех векторов базиса, т.е. величины: Покажем, что это так.
Если – базис, то для любого вектора существует разложение:
Используя свойства линейного преобразования, получаем:
Если образы векторов базиса известны, то можно записать:
,
поскольку , как любой произвольный вектор, имеет разложение в существующем базисе. Тогда
.
Отсюда .
В результате , где матрица А линейного преобразования есть матрица, столбцами которой являются образы базисных векторов. Таким образом, любые линейные преобразования можно описывать с помощью матриц и каждая матрица представляет некоторое линейное преобразование.
Пример. Линейное преобразование задано матрицей . Определить образ вектора .
Решение .
Определить прообраз вектора .
Решение. .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|