Сделай Сам Свою Работу на 5

Размерность линейного пространства





Пусть R – линейное пространство. Вектора ,i =1,…,n называются линейно – независимыми, если выражение:

(7.1 )

справедливо лишь в том случае, когда все a1,a2,…,an, равны нулю. Если в (7.1 ) хотя бы один коэффициент не равен нулю, то вектора являются линейно-зависимыми и при этом существует хотя бы один вектор, который может быть выражен через другие:

Линейное пространство называется n-мерным (Rn), если в нем существует n линейно независимых векторов и любые n+1 векторов связаны линейной зависимостью. Например, в R2 третий вектор является линейной комбинацией линейно-независимых векторов : .

 

 

Базис и координаты в n-мерном пространстве

Совокупность каких-либо n линейно независимых векторов называются базисом n-мерного пространства.

Любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов , т.е. существуют такие числа хi, i=1,…,n, что

.

Числа xi называются координатами вектора в базисе .

Используя частный случай единичных базисных векторов

можно любой набор n чисел (x1, x2 …xn) представить вектором линейного пространства Rn, причем числа xi являются координатами этого вектора в базисе единичных векторов . Если при этом , то



,

т.е. координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат.

Понятие базиса и координат вектора Х произвольной природы в базисе позволяет свести вектора любого характера к векторам, представляющим собой систему n чисел. Например, многочлены

можно представить через базис

,

в котором , т.е. множество полиномов степениn представляется как линейное пространство Rn+1. Этот результат справедлив для любых векторов и в общем виде сводится к алгебраической неразличимости (изоморфизму) векторов любой природы, но одинаковой размерности.

 

Евклидово пространство

Линейное пространство Rnвекторов над полем Р вещественных чисел называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, где каждой паре векторов Î Rn поставлено в соответствие число, обозначаемое через и обладающее следующими свойствами:

и только если .

Ортонормированный базис это базис { , i=1,…,n}, где ( , )=0; ( , )=1



В ортонормированном базисе координаты вектора могут быть выражены через скалярное произведение , т.е. xi является проекцией вектора на вектор . Действительно, , поскольку в силу ортонормированности

В ортонормированном и только в ортонормированном базисе евклидового пространства для векторов – столбцов чисел – скалярное произведение может быть определено как , где -вектор строка.

По аналогии с трехмерным пространством можно определить понятие длины или модуля вектора:

, и угла между векторами: .

Скалярное произведение в произвольном базисе представляется более сложной функциональной зависимостью

, где

Пример. Пусть , (рис. 7.2).

Матрица коэффициентов

В результате .

Рис. 7.2. Произвольный базис

В пространстве С[a,b] функций, определенных на отрезке [a,b] скалярное произведение

.

Из соотношений, характеризующих скалярное произведение векторов в пространстве непрерывных функций, следуют очень полезные в практических приложениях для предельных оценок

Неравенство Коши-Буняковского

;

Неравенство треугольника (Минковского)

.

Линейные преобразования

В линейном пространстве можно ввести функцию, ставящую в соответствие любому вектору некоторый вектор того же пространства:

,

где – функция преобразования пространства. Обозначение - называется оператором. Если вектор принадлежит одному пространству, ÎV, а вектор другому, , то говорят о преобразовании пространств V®W. Если пространство преобразуется в себя V®V, то это линейное преобразование.

Вектор - это образ вектора под действием преобразования , а вектор - прообраз вектора .



 

Преобразование называется линейным, если

1) ;

2) .

Пусть – некоторый базис в n- мерном пространстве Rn и – линейное преобразование, тогда для его определения достаточно задать образы всех векторов базиса, т.е. величины: Покажем, что это так.

Если – базис, то для любого вектора существует разложение:

Используя свойства линейного преобразования, получаем:

Если образы векторов базиса известны, то можно записать:

,

поскольку , как любой произвольный вектор, имеет разложение в существующем базисе. Тогда

.

Отсюда .

В результате , где матрица А линейного преобразования есть матрица, столбцами которой являются образы базисных векторов. Таким образом, любые линейные преобразования можно описывать с помощью матриц и каждая матрица представляет некоторое линейное преобразование.

Пример. Линейное преобразование задано матрицей . Определить образ вектора .

Решение .

Определить прообраз вектора .

Решение. .

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.