Сделай Сам Свою Работу на 5

Прогнозирование и оптимизация режимов и задачи проектирования развития ЭЭС





И.Л.Кирпикова, В.П.Обоскалов

 

Методы линейной алгебры в задачах
электроэнергетики

 

 

Учебное пособие

 

 

Научный редактор – профессор, д-р техн. наук А.Л. Мызин

 

 

Екатеринбург


УДК 51:620.9 (075.8)

ББК

 

 

Авторы: И. Л. Кирпикова, В. П. Обоскалов

 

Методы линейной алгебры в задачах электроэнергетики:учебное пособие
/ И. Л. Кирпикова, В. П. Обоскалов. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009, 157 с.

 

 

Учебное пособие предназначено для изучения одного из разделов дисциплины «Математические задачи энергетики». Рассматриваются математическая постановка, методы и алгоритмы решения некоторых задач электроэнергетики. Основное внимание уделенo проблемам решения систем уравнений узловых напряжений. Здесь в наибольшей степени проявляется алгоритмическая специфика электрических цепей – слабозаполненность матрицы проводимостей. Отсюда наиболее эффективным инструментарием является триангуляция матриц, которой в данной книге уделено достаточно большое внимание.

Предназначено для студентов очного и заочного обучения специальностей 140204 – Электрические станции, 140205 – Электроэнергетические системы и сети и
140203 – Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем. Может быть использовано студентами других электроэнергетических специальностей.



 

 

Библиогр.: 6 назв. Табл. 16 Рис. 45

 

УДК 51:620.9 (075.8)

 

 

© УГТУ – УПИ», 2009

© И.Л. Кирпикова В.П. Обоскалов », 2009

 

Оглавление

1. Предмет и содержание курса « Математические задачи энергетики». 5

1.1. Содержание курса «Математические задачи энергетики». 5

1.2. Классы задач и математический аппарат. 5

2. Системы уравнений узловых напряжений. 9

2.1. Параметры расчетной электрической схемы.. 9

2.2. УУН для сети постоянного тока. 10

2.3. Формы записи УУН для сети переменного тока. 15

3. Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений. 24

3.1. Понятие о матрицах и матричных операциях. 24

3.2. Обратная матрица. 28

3.3. Матричная запись СЛУ.. 30

3.4. Прямые методы решения СЛУ.. 31

3.5. Метод Гаусса. 33

4. Триангуляция квадратной матрицы.. 36

4.1. Алгоритм триангуляции. 36

4.2. Вычисление определителя. 40



4.3. Расчет обратной матрицы методом триангуляции. 41

4.4. Вычисление обратной матрицы методом матричных преобразований. 42

4.5. Преобразования Гаусса с выбором главного элемента. 43

4.6. Учет слабой степени заполненности матрицы проводимостей. 45

4.7. Метод электрических преобразований. 48

4.8. Решение систем уравнений с прямоугольной матрицей коэффициентов. 51

5. Итерационные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений. 53

5.1. Решение систем линейных уравнений методом простой итерации. 53

5.2. Метод Зейделя-Гаусса. 55

5.3. Ускоренный метод Зейделя-Гаусса. 56

6. Решение систем нелинейных уравнений. 57

6.1. Метод Ньютона (касательных). 58

6.2. Методы простой итерации и Зейделя-Гаусса. 62

6.3. Критерий окончания расчета при применении итерационных методов. 66

7. Линейные пространства. 67

7.1. Основные понятия и определения. 67

7.2. Преобразование координат при изменении базиса. 73

7.3. Геометрический смысл определителя матрицы.. 74

7.4. Ортонормированность базиса. 77

7.5. Собственные числа и собственные вектора. 78

7.6. Преобразование подобия. 82

7.7. Норма матрицы.. 84

7.8. Обособленность матрицы и точность решения СЛУ.. 86

7.9. Оценка сходимости итерационного процесса решения СЛУ.. 87

7.10. Дифференциальные уравнения и методы их решения. 88

8. Линейное программирование. 97

8.1. Математическое программирование. 97

8.2. Стандартная форма задачи линейного программирования. 100

8.3. «Симплекс–метод» решения задачи ЛП.. 102

8.4. Пример задачи линейного программирования. 108

8.5. Геометрическая интерпретация решения СЗЛП.. 112

8.6. Приведение задачи к стандартной форме. 114

8.7. Получение начального плана. 115



8.8. Двойственная задача линейного программирования. 117

8.9. Транспортная задача. 124

8.10. Целочисленное линейное программирование. 136

9. Нелинейное программирование. 137

9.1. Общая задача нелинейного программирования. 137

9.2. Метод множителей Лагранжа. 139

9.3. Изменение роли переменных x и u в функции Лагранжа. 145

9.4. Кусочно-линейная аппроксимация нелинейных функций. 146

9.5. Применение нелинейного программирования для решения СНУ.. 150

9.6. Направление движения. 151

9.7. Способы задания длины шага. 153

9.8. Пример решения УУН методами нелинейного программирования. 155

Библиографический список. 157


 

1. Предмет и содержание курса « Математические задачи энергетики».

Содержание курса «Математические задачи энергетики»

Основное содержание курса «Математические задачи энергетики» (МЗЭ) включает математическую постановку и основные методы решения важнейших задач электроэнергетики среди которых выделяются задачи управления развитием и функционированием электроэнергетических систем (ЭЭС). Здесь рассматриваются подзадачи физико-математического характера, осмысливаются результаты их решения, вырабатываются и реализуются те или иные управляющие воздействия, производится анализ существующих математических методов на адекватность при описании реальных энергетических объектов и процессов, корректируются существующие и обсуждаются новые математические методы, процедуры, алгоритмы, программы.

Данный процесс требует от инженера-электрика постоянного совершенствования математической базы, необходимой при изучении новых расчетных процедур, пакетов программ (электроэнергетическое программное обеспечение, пакеты общего пользования MathCad, AutoCad, MatLab, Excel, Access и др.).

При написании данного пособия авторы рассчитывали, что читатель знаком с основами высшей математики и теоретической электротехники.

Классы задач и математический аппарат

Расчеты установившихся режимов

Анализ электрической системы, так же как и механических систем, включает изучение положений равновесия. Для определения положений равновесия механических систем составляются и решаются системы алгебраических уравнений, основанных на равенстве внутренних и внешних сил, действующих на рассматриваемую систему. Аналогичная картина наблюдается и при расчетах ЭЭС.

Установившиеся процессы описываются законами Ома и Кирхгофа или вытекающими из них системами уравнений узловых напряжений (УУН) или контурных токов. Математический аппарат основан, как правило, на решении систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений. Здесь оцениваются такие параметры режима ЭЭС, как напряжения в узлах расчетной схемы, токи и перетоки мощности по линиям связи, реактивные мощности источников питания, коэффициенты трансформации трансформаторов и др.

Анализ переходных процессов

ЭЭС – это система динамического типа, где постоянно изменяются ее состояния (величина нагрузки, состав включенных генераторов, выключателей, трансформаторов и др.). Отсюда все физические величины (напряжения, токи) меняются во времени, стремясь к новому установившемуся значению. При отклонении системы от положения равновесия возникают различные переходные процессы, изучение которых необходимо для адекватной оценки устойчивости электрического режима и допустимости максимального отклонения электрических величин.

Для анализа движения систем используются математический аппараттеории дифференциальных уравнений. В механических системах для описания неустановившихся режимов широко используется второй закон Ньютона. Анализ переходных процессов в ЭЭС более сложен, чем в механических системах, поскольку в ЭЭС приходиться учитывать поведение не только механических величин (скорость, ускорение, механические моменты турбо и гидрогенераторов, двигателей и др.), но и электрических параметров (токи, напряжения, мощности). Однако существующие параллели позволяют не только лучше понять переходные процессы в ЭЭС, но и помогают при синтезе систем дифференциальных уравнений.

Прогнозирование и оптимизация режимов и задачи проектирования развития ЭЭС

Задача эксплуатации ЭЭС заключается не только в том, чтобы поддерживать оборудование в работоспособном состоянии и как-то обеспечивать потребителей электрической энергией, но и выполнять эти функции с наименьшими затратами материальных, трудовых, финансовых и энергетических ресурсов. Здесь решаются задачи прогнозирования и оптимального распределения суммарной нагрузки ЭЭС между параллельно работающими генерирующими агрегатами, минимизации потерь мощности и энергии в электрических сетях, прогнозирования развития ЭЭС и оптимального распределения инвестиций.

Проблемы оптимизации присутствуют практически во всех задачах эксплуатации и развития ЭЭС.

Основным математическим аппаратомприпрогнозировании нагрузок является статистический анализ с элементами теории аппроксимации, а при оптимизации – математическое программирование.

Оптимальное управление режимами ЭЭС

Как было отмечено выше, одной из основных задач эксплуатации ЭЭС является управление режимами. Недостаточно только наблюдать за процессами, происходящими в ЭЭС – необходимо в них активно вмешиваться, чтобы не допустить их катастрофических последствий. При этом вмешательство должно осуществляться в соответствии с некоторой стратегией управления, различной для разных целей, например, для ликвидации короткого замыкания, для анализа поведения генераторов при переходных процессах, для ввода параметров электрического режима в область допустимых значений, обеспечения длительности переходного процесса до минимально допустимого уровня и др.

С этой целью разрабатываются и внедряются в ЭЭС различные средства автоматического и автоматизированного управления.

Основной математический аппаратданного класса задач – теории оптимального, автоматического и автоматизированного управления сложных электроэнергетических систем.

Надежность ЭЭС

Эффективность любой технической системы, в том числе и электроэнергетической, как правило, рассматривается с позиции трех основных свойств: экономичность, надежность, безопасность. ЭЭС состоит из огромного числа элементов, отказ каждого из которых может привести к непредсказуемым последствиям. Так, например, нарушение герметизации в воздушном выключателе может привести к отказу в отключении КЗ, что в свою очередь приводит к действию УРОВ (устройство резервирования отказов выключателя), в результате чего отключаются остальные выключатели, связанные с поврежденной системой шин. Это, в свою очередь, может привести к нарушению статической или динамической устойчивости и т.д.

Надежность ЭЭС - наука, изучающая вероятностные состояния ЭЭС, способность ЭЭС выполнять свои функции при возникновении тех или иных отказов элементов, устройств или установок.

Основной математический аппаратданного класса задач – теории вероятности, математической статистики и надежности технических систем.

Информационное обеспечение ЭЭС

Для любого управления системой требуется информация о режимных параметрах, состоянии элементов ЭЭС и др. В электроэнергетике приходиться иметь дело с системами, поведение которых определяется сотнями или даже тысячами переменных, подвергаемых влиянию многих случайных или детерминированных факторов. Наблюдение этих параметров затрудненно, а в ряде случаев и вообще невозможно. В условиях частичной неопределенности и неполной наблюдаемости параметров требуется не просто вести режим системы, но и адекватно управлять ее функционированием и развитием. При этом необходимо принимать во внимание наличие погрешностей измерения и передачи данных. Возникает проблема передачи, фильтрации, оценки и использования данных.

Основной математический аппаратданного класса задач – теории информации и оценки состояний ЭЭС.

Во всех случаях речь идет о математических понятиях, в некоторой степени известных из общего курса математического анализа. Однако объем задач, решаемых при эксплуатации и проектировании ЭЭС, существенно затрудняет их «классическое» решение.

В курсе «Математические задачи энергетики основное внимание будет обращено на методы и алгоритмы, учитывающие специфику ЭЭС, позволяющие упростить и в максимальной степени формализовать решение, сделав его доступным для программирования на ЭВМ. Большое значение придается матричным формам записи, решения и преобразования математических выражений. Это обусловлено не только тем, что запись короче и проще, но и тем, что широкое применение в последнее время находят программные пакеты, основанные на матричной математике (Excel, MatLab) и их освоение принесет большую пользу инженерам-электрикам.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.