Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
или
.
Дифференциальные уравнения классифицируются как
· Линейные, например ;
· нелинейные, например .
В свою очередь линейные ДУ делятся на
· однородные ;
· неоднородные , где - произвольная непрерывная функция времени. Если , уравнение становится однородным.
Если ДУ первого порядка , можно разрешить относительно , то, как правило, оно представляется в виде
.
| (7.10)
| Для непрерывных в некоторой области функций и уравнение (7.10) имеет бесконечное множество решений. Общим решением уравнения (7.10) является некоторая функция .
Существует частное решение уравнения (7.10), удовлетворяющее условию
.
| (7.11)
|
Числа называются начальными значениями для решения , а соотношение (7.11) - начальным условием этого решения. Решение , удовлетворяющее начальным значениям , называется частным решением ДУ.
Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
.
| (7.12)
| .
Относительно производной уравнение (7.12) преобразуется к виду
.
Общее решение этого уравнения с разделяющимися переменными
,
| (7.13)
| где С - произвольное действительное число.
Геометрически на плоскости общее решение ДУ (рис. 7.10) представляется семейством кривых, каждая из которых соответствует различным начальным условиям.
Пример. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных значениях , .
Преобразуем уравнение к виду (7.10): .
Общее решение
По условию известно, что при , , тогда , откуда . Частное решение исходного ДУ .
Аналитический метод решения систем линейных однородных дифференциальных уравнений
Рассматривается система линейных однородных дифференциальных уравнений (СЛДУ) первого порядка
.
| (7.14)
| Система (7.14), когда в левой части уравнений стоят производные, а правая часть производных не содержит, называется нормальной. Путем замены переменных (например, ) к нормальному виду может быть приведена любая нелинейная система ДУ с производными высших порядков.
В матричной форме записи система (7.14) может быть представлена уравнением:
,
| (7.15)
| где
; ; .
Пример. Привести к нормальной форме записи уравнение вида
.
Выполним замену переменных , , тогда исходное ДУ преобразуется в систему
Эта система может быть представлена в виде, приемлемом для матричной формы
Принимая во внимание, что любая матрица является отражением линейного преобразования, можно заметить, что система ДУ ставит в соответствие вектору переменных вектор производных (образ исходного вектора), . Далее этот тезис будет расширен.
В разделе 7.5 было сказано, что существует такой базис (система собственных векторов ), где матрица линейного преобразования является диагональной . В базисе . Нетрудно получить решение представленных ДУ. Оно имеет вид
,
| (7.16)
| или в матричной форме
,
где - функциональная матрица (квадратная, порядка n), диагональными элементами которой являются экспоненциальные функции , , а недиагональные элементы равны нулю.
.
Учитывая преобразования перехода к старому базису, получаем
,
| (7.17)
| где Н - матрица, состоящая из собственных векторов .
При t=0 матрица преобразуется в единичную, В результате получаем
.
Окончательно, решение СЛДУ
| (7.18)
| Пример. Найти решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений
с начальными условиями : , ,.
Матрица А имеет вид: . Для нахождения собственных чисел составим характеристический определитель
.
Найдем корни характеристического уравнения , которые одновременно являются собственными числами матрицы А: и .
Определим собственные вектора.
Для характеристическая матрица имеет вид
.
Строки полученной матрицы являются линейно-зависимыми. Решим систему уравнений для определения первого собственного вектора
при получим значение , тогда .
Аналогично определим второй собственный вектор .
Матрица имеет вид , а обратная к ней
.
Решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений получается в виде (7.18),
или .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|