Поверхности второго порядка

Определение 77

Поверхность в пространстве называется поверхностью второго порядка, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением второго порядка, т.е. уравнением вида

где

Замечание

Было доказано, что если кривая в некотором базисе задается алгебраическим уравнением -ого порядка, то при переходе к другому базису уравнение сохраняло порядок.

Распадающиеся поверхности

Определение 78

Если в некоторой декартовой системе координат уравнение поверхности второго порядка может быть представлено в виде , где , то такая поверхность называется распадающейся поверхностью.

Замечание

Если для распадающейся поверхности в некотором базисе уравнение имеет вид , то и в любом другом базисе она тоже имеет такой вид.

Замечание

Если точка принадлежит распадающейся поверхности, то ее координаты удовлетворяют одному из уравнений , и наоборот – если координаты точки удовлетворяют одному из этих уравнений, то точка принадлежит поверхности.

Уравнения и являются уравнениями плоскостей в пространстве. Если эти уравнен6ия описывают пересекающиеся плоскости, то рассмотрим систему координат, выбранную следующим образом. Ось направлена вдоль прямой пересечения этих плоскостей. В качестве начала координат выберем любую точку на этой прямой. Оси и направим так, чтобы они лежали на биссектрисах двухгранных углов, образованных этими плоскостями. В этом базисе плоскости будут иметь уравнения и и распадающаяся поверхность будет имеет уравнение или .

Если плоскости параллельны и не совпадают, то выберем систему координат так, чтобы плоскость была параллельна указанным плоскостям и находилась посередине между ними. Тогда уравнения плоскостей в этом базисе имеют вид и . Уравнение поверхности второго порядка имеет вид или . Если плоскости совпадают, то выберем систему координат так, чтобы эти плоскости совпадали с плоскостью . Тогда уравнения плоскостей имеют вид и , а уравнение поверхности .

Цилиндрические поверхности

Определение 79

Поверхность второго порядка называется цилиндрической поверхностью второго порядка, если в некоторой декартовой системе координат уравнение поверхности имеет вид , .

Если цилиндрическая поверхность задается уравнением и точка принадлежит поверхности, то вся прямая, параллельная оси и проходящая через точку принадлежит поверхности. Уравнение прямой

Пусть поверхность второго порядка обладает тем свойством, что вместе с точкой этой поверхности ей принадлежит прямая, параллельная некоторой фиксированной прямой и проходящая через . Тогда эта поверхность цилиндрическая.

Для доказательства выберем систему координат так, чтобы ось была параллельна прямой . Запишем уравнение этой поверхности в виде Покажем, что . Пусть точка принадлежит поверхности. Так как эта точка принадлежит поверхности вместе с прямой проходящей через нее параллельно оси , то для любого должно выполняться равенство

При это квадратное уравнение относительно . Квадратное уравнение не может иметь более двух решений. Поэтому . Тогда уравнение поверхности имеет вид

Если , то
такое, что принадлежит поверхности. Таким образом точка принадлежит поверхности, но прямая параллельная оси и проходящая через эту точку не принадлежит поверхности. Получили противоречие. Значит и в выбранной системе координат уравнение поверхности имеет вид , где . Плоскость пересекает указанную цилиндрическую поверхность по линии второго порядка, поэтому цилиндрические поверхности делят на эллиптические, гиперболические и параболические.

	Каноническое уравнение эллиптического цилиндра:
	Каноническое уравнение гиперболического цилиндра:
	Каноническое уравнение параболического цилиндра:

Конические поверхности

Определение 80

Функция называется однородной порядка , если .

Определение 81

Поверхность второго порядка в пространстве называется конической, если в некоторой декартовой системе координат уравнение 2 порядка, описывающее эту поверхность, является однородным.

Замечание

Иногда дополнительно требуют, что это уравнение было однородным второго порядка.

Замечание

Если уравнение поверхности, однородное, то точка удовлетворяет уравнению.

Замечание

Если точка принадлежит поверхности, которая задается однородным алгебраическим уравнением, то вместе с точкой поверхности принадлежит прямая, проходящая через точку и начало координат.

Пусть уравнение имеет вид и точка принадлежит этой поверхности. Тогда прямая принадлежит этой поверхности, т.к.

Пусть поверхность второго порядка обладает свойством, что каждая точка принадлежит поверхности вместе с прямой, проходящей через и . Тогда эта поверхность является конической и в некоторой системе координат записывается уравнением второго порядка .

Для доказательства введем декартову систему координат с центром в точке . В этой системе координат уравнение поверхности второго порядка имеет вид , где

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: