Преобразование аффинной системы координат на плоскости

Пусть на плоскости заданы две системы координат и . Для любого вектора верно равенство . Так как - базис, то существуют числа , такие что . Если координаты точки в системе координат равны , а в системе координат равны , то они связаны соотношением . Обозначим координаты вектора в базисе через . Тогда

В силу единственности координат

Если у нас есть две декартовые системы координат и , то коэффициенты могут быть вычислены по формулам:

Пример.

Поворот декартовой системы координат на угол (поворот против часовой стрелки).

Тогда

Координаты точки в системе координат выражаются через координаты точки в системе координат так:

Пример.

Сдвиг системы координат (параллельный перенос).

, где - координаты точки в системе координат .

Пример.

Отражение системы координат симметрично оси вектора .

Общий случай поворота со сдвигом.

Общий случай поворота, с отражением и сдвигом.

Из полученных формул можно выразить координаты точки в системе координат через координаты в системе координат . Пусть

Кривые и поверхности на
плоскости и в пространстве

Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартовая система координат.

Определение 41

Будем говорить, что уравнение задает линию , если для с координатами выполняется равенство и для с координатами выполняется неравенство .

Определение 42

Будем говорить, что уравнение задает поверхность в пространстве, если для с координатами выполняется равенство и для с координатами выполняется неравенство .

Определение 43

Будем говорить, что система уравнений задает линию в пространстве, если с координатами выполняется и для с координатами выполняется .

Примеры.

(уравнение окружности на плоскости)
(уравнение сферы в пространстве)
(уравнение цилиндра в пространстве)
(уравнение окружности в пространстве)

Определение 44

Будем говорить, что линия на плоскости задана параметрически, если в некоторой декартовой системе координат координаты точек заданы уравнением .

Определение 45

Будем говорить, что поверхность в пространстве задана параметрически, если в некоторой декартовой системе координат координаты точек поверхности заданы уравнениями

Примеры.

Окружность радиуса с центром в начале координат:

Сфера радиуса 3 с центром в точке :

Определение 46

Линия на плоскости называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением, т.е. уравнением вида , где

Определение 47

Порядком алгебраической линии на плоскости называется порядок алгебраического уравнения задающего данную линию, т.е. , где .

Пример

Линия, задаваемая уравнением имеет порядок 3. Линия, задаваемая уравнением имеет порядок 2.

Определение 48

Поверхность в пространстве называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением, т.е. уравнением вида , где

Определение 48

Порядком алгебраической поверхности в пространстве называется порядок алгебраического уравнения задающего данную поверхность, т.е. , где .

Теорема 20 (об инвариантности порядка алгебраической линии на плоскости)

Если алгебраическая линия в одной декартовой системе координат имеет порядок , то и в другой декартовой системе координат она может быть задана алгебраическим уравнением порядка .

Доказательство.

Пусть в первой системе координат линия задается уравнением

, и пусть координаты в новой системе координат связаны с исходными . Подставляем эти формулы в алгебраическое уравнение:

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим алгебраическое уравнение порядка . Подставляя в полученное уравнение выражения координат через и получим исходное уравнение порядка . Таким образом .

Замечание.

Алгебраическую линию в одной и той же системе координат можно задать различными алгебраическими уравнениями: и .

Теорема 21 (об инвариантности порядка алгебраической поверхности в пространстве)

Если алгебраическая поверхность имеет в декартовой системе координат порядок , то и в другой декартовой системе координат данная поверхность может быть задана алгебраическим уравнением порядка .

Прямая на плоскости и
плоскость в пространстве

Рассмотрим на плоскости декартову систему координат. Базисные вектора буем обозначать и , начало координат . Координаты точек будем обозначать и .

Определение 49

Множеством точек таких, что вектор ортогонален вектору называется прямой, проходящей через точку , ортогональной вектору . .

В декартовой системе координат для точки с координатами , точки с координатами и вектора уравнение прямой можно записать:

Теорема 22

1) Если - линия на плоскости и в некоторой декартовой системе координат она задается уравнением , где , то - прямая, ортогональная вектору .
2) Любая прямая может быть задана в декартовой системе координат уравнением вида , где .

Доказательство.

1) Пусть прямая задана уравнением , . Будем считать, что . Рассмотрим точку с координатами . Тогда для всех точек с координатами , удовлетворяющих уравнению выполняется , где .

2) См. Вывод уравнения прямой, ортогональной заданному вектору.

Определение 50

Уравнения первого порядка будем называть линейными уравнениями.

Различные способы задания
прямой на плоскости

1) Любая прямая на плоскости задается уравнением вида , где вектор с координатами является ортогональным к этой прямой. Это уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.
Если и задают одну и ту же прямую, то .

2) Уравнение прямой, проходящий через точку , ортогональной вектору :
.

3) Уравнение в отрезках. Если прямая задается полным уравнением, т.е. и и , то эквивалентно
или .

4) Нормированное уравнение.

Вектор с координатами имеет единичную длину. Обозначим
, где и - направляющие косинусы.
Получим , где .

Если обозначить , а , где - угол между векторами и , получим .

5) Каноническое уравнение. Пусть дано уравнение прямой , . Вектор с координатами ортогонален прямой. Вектор с координатами ортогонален вектору с координатами (так как ). Таким образом вектор с координатами является параллельным нашей прямой. Поэтому вектора с координатами и коллинеарны. По свойствам коллинеарных векторов . Получим: если вектор является параллельным прямой, то уравнение прямой .

6) Уравнение прямой, проходящей через две точки. Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точки и . Вектор с координатами параллелен прямой. Поэтому уравнение прямой .

7) Параметрическое задание прямой. Пусть вектор с координатами параллелен прямой, проходящей через точку . Тогда для любой точки этой прямой с координатами вектор коллинеарен вектору : . Получаем

Задачи

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: