Нахождение угла между прямыми

Пусть в декартовой системе координат две прямые заданы уравнениями и .
Если , то эти прямые совпадают. Если , то эти прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны. Пусть . Тогда прямые пересекаются. Так как вектор параллелен прямой и вектор параллелен прямой , то угол между векторам и совпадает с углом между векторами и , т.е. угол между прямыми совпадает с углом между перпендикулярными прямыми. Угол между перпендикулярами может быть найден по формуле

, либо

Расстояние от точки до прямой

Пусть задано уравнение прямой и точка . Нормируем уравнение прямой:
и пусть точка принадлежит прямой. Нормальный вектор к прямой , причем . Угол между вектором и обозначим через . Тогда расстояние от точки до прямой равно

Замечание

Если точка лежит по ту же сторону от прямой, куда направлен вектор , то угол - острый и величина . Если точка лежит по другую сторону от прямой, то угол - тупой и величина .

Задача

Построение биссектрисы угла между прямыми

Пусть даны уравнения прямых

По последнему замечанию для всех точек по одну сторону от первой прямой выражение имеет положительные значения, а по другую отрицательные. Аналогично для второй прямой. Поэтому произведение величин и сохраняет знак в вертикальных углах. Биссектриса угла обладает тем свойством, что каждая точка на биссектрисе равноудалена от прямых. Поэтому уравнения биссектрис

Переносим в левую сторону, и получаем

Плоскость в пространстве

Определение 51

Плоскостью , проходящей через точку , ортогональной вектору называется множество точек таких, что ортогонален , т.е. . Если вектор имеет координаты , точка имеет координаты , то для точки с координатами получаем уравнение принадлежности плоскости или , где .

Теорема 23

1) Если поверхность в пространстве описывается уравнением , где , то - плоскость, ортогональная вектору .

2) Любая плоскость может быть задана уравнением , где .

Доказательство

1) Так как , то будем считать, что . Тогда точка принадлежит поверхности и уравнение приобретает вид . Это выражение является скалярным произведением вектора и вектора с координатами . Последний является координатами вектора , где - точка с координатами . Получили условие на принадлежность точки поверхности : . Это условие задает плоскость (см. определение).

2) Смотри вывод уравнения плоскости.

Способы задания плоскости в пространстве

1) Общее уравнение плоскости

Уравнение плоскости, ортогональной вектору , проходящей через точку :

или
, где

2) Пусть заданы неколлинеарные векторы и . Уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно векторам и получаем следующим образом. Вектор является ортогональным этой плоскости, поэтому точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда

Если координаты вектора , координаты вектора , координаты точки и координаты точки , то условие записывается

3) Если даны три точки, не лежащие на одной прямой

то уравнение плоскости, проходящей через эти точки

4) Параметрическое задание плоскости. Пусть заданы неколлинеарные вектора и и точка . Тогда точка принадлежит плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и тогда и только тогда, когда вектора компланарны. Т.к. и некомпланарны, то компланарны тогда и только тогда, когда найдутся такие и такие, что . Обозначим координаты векторов:

Тогда условие перепишется
или

5) Нормированное уравнение плоскости

Если в общем уравнении (или ) вектор обладает свойством , то такое уравнение называет нормированным.

Задачи

1) Угол между плоскостями

Определение 52

Углом между плоскостями называется угол, между векторами, ортогональными этим плоскостям.

Замечание

Угол между плоскостями определен неоднозначно. Межу плоскостями может быть два различных угла.

Пусть плоскости заданы уравнениями:

Ортогональные векторы к этим плоскостям

Угол между плоскостями определяем из равенства

2) Расстояние от точки до плоскости

Пусть плоскость задана уравнением и точка принадлежит плоскости. Запишем нормированное уравнение плоскости:

Обозначим угол между вектором с координатами и вектором через . Тогда расстояние от точки до плоскости равно
, где - координаты точки .

Замечание

Если точка лежит по ту же сторону от плоскости, куда направлен вектор , то угол - острый и величина . Если точка лежит по другую сторону от плоскости, то угол тупой и величина .

Прямая в пространстве

Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо совпадают, либо пересекаются, и множество точек пересечения плоскостей является прямой. Поэтому прямые в пространстве удобно задавать, как пересечение плоскостей. Тогда уравнение прямой имеет вид

, где и НЕ выполняется

Если прямая задана направляющим вектором , т.е. прямая проходящая через точку содержит точки такие, что , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде: , где

Если прямая задана пересечением плоскостей
, то для написания канонического уравнения прямой надо найти направляющий вектор. , где и найти точку, принадлежащую прямой. Для нахождения общей точки плоскостей можно воспользоваться методом Крамера. Пусть дана система и . Тогда
, где

Доказательство

Домножаем первое уравнение на , а второе на и вычитаем.

Аналогично

Если уравнение прямой , то не выполняется пропорция . Пусть не выполняется первое, т.е. . Тогда взяв подберем и системы

Точка с координатами является точкой прямой.

Задачи

1) Нахождение угла между прямыми

Пусть прямые заданы уравнениями

Определение 53

Углом между прямыми называется угол между направляющими векторами этих прямых. Направляющий вектор первой прямой имеет координаты , второй прямой . Угол между этими векторами

2) Условия на принадлежность прямых одной плоскости

Пусть прямые заданы уравнениями

Обозначим направляющий вектор с координатами через , вектор с координатами через . Обозначим . Если прямые параллельны, то через них можно провести плоскость и векторы компланарны. Если прямые пересекаются, то через них можно провести плоскость и векторы компланарны. Если прямые скрещивающиеся, то векторы некомпланарны. Таким образом условие принадлежности прямых одной плоскости записывается или в координатах:

3) Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая уравнением . Обозначим через вектор с координатами , через вектор с координатами . Угол между векторами и через , угол между прямой и плоскостью, через . Угол удовлетворяет неравенству . Поэтому

4) Нахождение проекции точки на плоскость

Определение 54

Проекцией точки на плоскость называется точка такая, что и .

Пусть плоскость задана уравнением , точка имеет координаты , - вектор с координатами .

Напишем параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости.

Точка лежит на этой прямой и принадлежит плоскости, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению

Координаты точки

5) Проекция точки на прямую

Определение 55

Проекцией точки на прямую называется точка такая, что и .

Пусть прямая задана уравнением . Направляющий вектор , точка . Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярную прямой: . Точка , являющаяся пересечением плоскости и прямой, является проекцией точки на прямую и является проекцией точки на плоскость. Параметрическое уравнение прямой:

Подставляем в уравнение плоскости:

. Таким образом координаты точки :

6) Уравнение прямой, перпендикулярной двум скрещивающимся прямым

Пусть заданы прямые

Вектор перпендикулярен первой и второй прямой, значит он является направляющим вектором прямой, перпендикулярной скрещивающимся прямым. Плоскость, проходящая через искомую прямую и первую прямую задается уравнением , где - координаты вектора . Плоскость, проходящая через искомую прямую и вторую прямую задается уравнением , где - координаты вектора . Уравнение искомой прямой:

7) Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть прямые заданы уравнениями

- точка с координатами , - точка с координатами . Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

Расстояние от первой прямой до второй – это расстояние от до построенной плоскости:

8) Расстояние между параллельными плоскостями

Пусть плоскости заданы уравнениями

Пусть точка с координатами принадлежит первой плоскости, т.е. . Расстояние от первой плоскости до второй равно расстоянию от точки до второй плоскости. Оно равно .

Кривые второго порядка

Эллипс

Определение 56

Эллипсом называется множество точек сумма расстояний от каждой из которых до точек и постоянна. Точки и называются фокусами эллипса.

Замечание

Если точки и совпадают, то полученная фигура называется окружностью.

Обозначим фиксированную сумму через , а расстояние между и через . Если , то подходящих под определение точек на плоскости нет. Если , то получается отрезок. Будем считать, что .

Введем декартову систему координат, в которой точка имеет координаты , а точка координаты .

Выведем уравнение эллипса. Пусть принадлежит эллипсу. Тогда

Проверим, что каждая точка удовлетворяющая этому уравнению принадлежит эллипсу. Пусть точка удовлетворяет уравнению

Докажем, что точка принадлежит эллипсу.

Из этого уравнения имеем . Расстояние от точки до фокуса равно

Так как удовлетворяет уравнению , то . Аналогично получаем расстояние до фокуса . Оно равно . Сумма полученных расстояний равна , т.е. точка принадлежит эллипсу. Таким образом точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению . Будем обозначать . Тогда уравнение приобретает вид , причем .

Определение 57

Уравнение вида , где называется каноническим уравнением эллипса.

Определение 58

Декартовая система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид называется канонической системой координат.

Свойства эллипса

Пусть есть каноническое уравнение эллипса . Тогда

1) Эллипс имеет две оси симметрии – ось ординат и ось абсцисс.

Доказательство

Пусть - точка с координатами принадлежит эллипсу. Тогда точки удовлетворяют уравнению эллипса

. Точка симметрична точке относительно оси ординат, а точка симметрична точке относительно оси абсцисс.

Замечание

Прямая, проходящая через фокусы является главной осью симметрии. Прямая, перпендикулярная отрезку с концами в фокусах и проходящая через его середину тоже является осью симметрии.

Определение 59

Ось симметрии, проходящая через фокусы называется большей главной осью, а перпендикулярная ей ось симметрии – малой главной осью.

Замечание

Большая главная ось пересекает эллипс в точках, которые являются концами отрезка длины . Малая главная ось пересекает эллипс в точках, которые являются концами отрезка длины . .

Замечание

Если , то главные оси симметрии единственные. Если , то главных осей бесконечно много.

Определение 60

Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса.

2) Точка пересечения главных осей является центром симметрии эллипса. В канонической системе координат точка пересечения главных осей совпадает с началом координат. Поэтому для точки эллипса симметричной является точка . Так как , то и , т.е. принадлежит эллипсу.

Замечание

Если фигура ограничена, то на может обладать только одним центром симметрии.

3) В канонической системе координат эллипс ограничен прямоугольником

Доказательство

В канонической системе координат уравнение эллипса , значит для точек эллипса выполняются неравенства

4) Рассмотрим уравнение эллипса в канонической системе координат: . Пусть прямая проходит через центр симметрии эллипса. Тогда длина отрезка, отсекаемого эллипсом на этой прямой удовлетворяет неравенству . Причем левое неравенство превращается в равенство, только если прямая является меньшей главной осью, а правое неравенство превращается в равенство, только если прямая является большей главной осью. Пусть точка принадлежит эллипсу. Тогда расстояние от точки до центра симметрии удовлетворяет неравенству

Равенство слева достигается только если точка является вершиной и лежит на меньшей главной оси, а правое, если точка является вершиной и лежит на большей главной оси.

Определение 61

Центром эллипса будем называть центр симметрии эллипса.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: