Полярное уравнение гиперболы

Пусть в канонической системе координат уравнение гиперболы . Введем систему координат так: началом системы координат является точка , а полярной осью является ось , где . Тогда для правой ветви гиперболы имеем: если точка принадлежит правой ветви гиперболы, то расстояние от до директрисы равно расстоянию от фокуса до директрисы плюс . Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через . Тогда

Если принадлежит левой ветви гиперболы, то расстояние от точки до директрисы равно .

Парабола

Определение 69

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояния до фиксированной точки и до фиксированной прямой равны. Точка называется фокусом параболы, а прямая - директрисой параболы.

Замечание

Если точка принадлежит прямой , то множество таких точек – прямая, перпендикулярная и проходящая через . Поэтому будем считать, что .

Выберем систему координат:

Расстояние от до равно . Расстояние от до фокуса равно . Так как , то

Проверим, что каждая точка удовлетворяющая уравнению принадлежит этой параболе. Расстояние от точки до равно .

Расстояние от точки до прямой равно . Эти расстояния равны, значит точка принадлежит параболе.

Определение 70

Уравнение вида ( ) называется каноническим уравнением параболы.

Определение 71

Система координат, в которой парабола имеет каноническое уравнение, называется канонической системой координат.

Свойства параболы

1) Парабола имеет одну ось симметрии. Точка пересечения этой оси с параболой называется вершиной параболы.

2) Парабола не имеет центра симметрии.

Определение 72

Для параболы эксцентриситет полагают равным 1.

Полярное уравнение параболы.

Поместим начало координат в фокус параболы . Тогда расстояние до фокуса равно , а расстояние до директрисы равно . Эти два расстояния равны, т.е.

Теорема 24

Пусть на плоскости заданы прямая и точка . Тогда множество точек, для которых отношение расстояний до точки и до прямой равно является

1) эллипсом при ;
2) гиперболой, при ;
3) параболой, при .

Исследование уравнений второго порядка

Определение 73

Линией второго порядка называется линия, задаваемая в некоторой декартовой системе координат уравнением:

, где .

Пусть в некоторой декартовой системе координат линия задана уравнением . Найдем систему координат, в которой линия задается более простым уравнением. Для этого будем рассматривать переходы от одной системы координат к другой следующего вида:

Поворот на угол :

, - координаты в новом базисе.

Перенос начала системы координат:

Посмотрим как меняется уравнение при повороте:

Выберем угол поворота так, чтобы .

Если , то , Если , то , т.е. .

Далее можно найти и ( ).

При выбранном уравнение имеет вид

Перейдем к следующей системе координат посредством сдвига:

Случай

(т.е. и )

Если ( ), то

Так как и , то обозначим , а .

Получим уравнение вида . Это уравнение эллипса.

Если мы хотим получить каноническое уравнение эллипса, то требуется, чтобы коэффициент при был меньше, чем при .

При можно сделать поворот системы координат на и получить каноническое уравнение эллипса.

Если , то

, где и .

Точек плоскости, удовлетворяющих этому уравнению, не существует. Говорят, что данное уравнение описывает мнимый эллипс.

Если и , то

Этому уравнению удовлетворяет одна точка с координатами и . Говорят, что данное уравнение описывает вырожденный эллипс.

Если и , то

, где
либо и , либо и .

Если и , то, обозначив и , получим уравнение . Это каноническое уравнение гиперболы.

Если и , то обозначим и . Получим уравнение . Перейдем к новой системе координат посредством поворота на угол .

Получим уравнение . Это тоже каноническое уравнение гиперболы.

Если и , то уравнение имеет вид

. Обозначим , . Тогда

Уравнение описывает пару пересекающихся прямых

и . Точка пересечения прямых .

Случай

Пусть . Тогда (уравнение второго порядка). Тогда уравнение имеет вид

С

Если , то

Преобразуем уравнение к виду .

Если , то является каноническим уравнением параболы.

Если , то для получения из уравнения канонического уравнения параболы надо перейти к системе координат посредством поворота на угол .

В этой системе координат уравнение имеет вид .

Если , то

Преобразуем это уравнение к виду

. Если , то, обозначив , получаем уравнение . Это уравнение двух параллельных прямых и .

Если , то, обозначив , получаем уравнение . Точек на плоскости, удовлетворяющих данному уравнению, нет. Говорят, что это уравнение описывает пару мнимых параллельных прямых.

Если , то уравнение принимает вид . Говорят, что это уравнение описывает пару совпадающих прямых. Таким образом мы доказали теорему.

Теорема 25

Любое уравнение второго порядка путем преобразования системы координат поворотом и переносом начала системы координат можно привести к одному из видов:

1) - эллипс.

2) - вырожденный эллипс.

3) - мнимый эллипс.

4) - гипербола.

5) - пара пересекающихся прямых.

6) - парабола.

7) - пара параллельных прямых.

8) - пара совпадающих прямых.

9) - пара мнимых параллельных прямых.

Теорема 26

Для уравнения второго порядка величины , , являются инвариантными относительно преобразований системы координат посредством поворота и переноса начала системы координат.

1) Если , то уравнение приводится к одному из уравнений
или или
При и получаем уравнение эллипса.
При и получаем уравнение вырожденного эллипса.
При и получаем уравнение мнимого эллипса.

2) Если , то уравнение приводится к одному из уравнений
или
При получаем уравнение гиперболы.
При получаем уравнение пары пересекающихся прямых.

3) Если , то уравнение приводится к одному из уравнений
или или или
При получаем уравнение параболы.
При получаем уравнение пары (параллельных / совпадающих / мнимых параллельных) прямых.

			уравнение
			- эллипс
	- вырожденный эллипс
	- мнимый эллипс
		- гипербола
	- пара пересекающихся прямых
		- парабола
	- пара параллельных прямых или - пара совпадающих прямых или - пара мнимых параллельных прямых

Определение 74

Кривые, для которых называются кривыми эллиптического типа. Кривые, для которых называются кривыми гиперболического типа. Кривые, для которых называются кривыми параболического типа.

Определение 75

Центр симметрии кривой второго порядка называется центром кривой второго порядка.

Определение 76

Если кривая имеет ровно один центр, то такая кривая называется центральной.

Замечание

Центральными кривыми являются эллиптические и гиперболические кривые, т.е. те для которых .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: