Сделай Сам Свою Работу на 5

Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)





Определение 1

Закрепленным вектором называют отрезок с выбранным одним из двух направлений (от к или от к ). Соответственно вектор с началом в и концом в будем обозначать , а вектор с началом в и концом в через .

Можем дать определение другими словами:

Закрепленным вектором называется упорядоченная пара точек.

Определение 2

Закрепленный вектор, у которого начало и конец совпадает, будем называть нулевым.

Определение 3

Два ненулевых закрепленных вектора, не лежащих на одной прямой будем называть равными, если при соединении отрезком их начал и соединении отрезком их концов образуется параллелограмм.

Два ненулевых вектора, лежащих на одной прямой, будем называть равными, если существует третий вектор, не лежащий с ними на одной прямой и равный обоим.

Все нулевые вектора считаем равными.

Теорема 1

Отношение равенства закрепленных векторов обладает следующими свойствами:

1) рефлективность: закрепленный вектор равен сам себе
( );

2) симметричность: если вектор равен вектору , то вектор равен вектору
( );

3) транзитивность: если вектор равен вектору , а вектор равен вектору , то вектор равен вектору
.



Доказательство

1) Если нулевой, то по определению . Если ненулевой, то проведем прямую параллельно вектору и две параллельные прямые через начало и конец вектора , пересекающие первую прямую в точках и .

Фигура является параллелограммом. Поэтому . Имеем два вектора и лежат на одной прямой и
, значит по определению .

2) По определению.

3)

а) (Векторы , и не лежат в одной плоскости (некомпланарны))

Так как , то .
Так как , то .
Значит плоскости и параллельны.
Так как и , то точки , , , лежат в одной плоскости.
Поэтому , т.е. .

б) (Векторы , и лежат в одной плоскости, но никакие два не лежат на одной прямой).

Так как , то .
Так как , то .
Значит и .
Поэтому , т.е. .

в) (Векторы , и лежат в одной плоскости, два из которых лежат на одной прямой).

По определению.

г) (Все векторы , и лежат на одной прямой).

Пусть вектор не лежит на одной прямой с остальными и . Тогда

Так как , то ,
Так как , то .
Отсюда .

Замечание

Отношения, обладающие свойством рефлективности, симметричности и транзитивности обычно называют отношениями эквивалентности.



Определение 4

Классом равенства вектора будем называть множество всех векторов, равных .

Теорема 2

Классы равенства векторов либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство

Пусть два класса равенства и имеют общий вектор . Тогда для каждого вектора из и вектора из имеем:

(так как )
(так как )

Поэтому и и по свойству транзитивности . Аналогично . Получаем, что . Таким образом, и , то есть любой элемент из входит в и наоборот.

Следствие

Множество всех закрепленных векторов распадается на попарно непересекающиеся классы векторов.

Определение 5

Свободными векторам будем называть классы равенства закрепленных векторов. Свободные вектора будем обозначать , или , .

Определение 6

Будем говорить, что свободные векторы равны, если их классы совпадают. При этом писать будем . Класс нулевых закрепленных векторов будем обозначать или . Вместо записи будем писать .

Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами будем понимать сложение векторов и умножение векторов на действительные числа.

Определение 7

Суммой закрепленных векторов и называется вектор .

Определение 8

Произведением вектора на действительное число называется вектор такой, что .

Векторы и лежат на одной прямой и в случае точки и лежат на прямой по одну сторону от , а в случае – по разные.

Определение 9

Суммой свободных векторов и называется свободный вектор (класс равенства), порожденный суммой закрепленных векторов и .



Определение 10

Произведением свободного вектора на число называется свободный вектор , порожденный вектором , где .

Теорема 3

Определение суммы свободных векторов и произведения свободного вектора на число корректна, то есть сумма не зависит от выбора закрепленных векторов, и произведение не зависит от выбора закрепленного вектора.

Доказательство

Докажем частично корректность суммы.

Нам надо показать, что выбор пары , и другой пары , порождают один и тот же свободный вектор (класс равенства).

Пусть , и , не лежат в одной плоскости. Тогда (см. доказательство теоремы 1). Значит векторы и порождают один и тот же свободный вектор (класс равенства).

Определение 11

Свободные векторы и будем называть коллинеарными, если закрепленные векторы и коллинеарны.

Теорема 4

Если векторы и коллинеарны, то найдется число такое, что либо , либо .

Доказательство

Рассмотрим и . Так как и , то возьмём , где берется знак « », если и лежат по одну сторону от точки , и «–» если по разные. Тогда и векторы и порождают одинаковые классы равенства. Значит .

Определение 12

Будем говорить, что на множестве задана операция сложения, если каждой упорядоченной паре из поставлен в соответствие элемент из .

Определение 13

Будем говорить, что на множестве задана операция умножения на действительное число, если каждой паре число и элемент из поставлен в соответствие элемент из .

Определение 14

Множество будем называть линейно-векторным пространством, если на нем определены операции сложения, умножения на число, которые удовлетворяют свойствам:

1) для любых и из верно равенство ;

2) для любых , и из верно равенство ;

3) существует элемент , который называет нулевым и обозначают , который обладает следующим свойством: для каждого ;

4) Для каждого элемента существует элемент такой, что . Этот элемент называется обратным элементом к и обозначается .

5) Для любого числа и любых и выполняется .

6) Для любых чисел и и любого выполняется .

7) Для любых чисел и и любого выполняется .

8) Для любого элемента .

Теорема 5

Совокупность свободных векторов с введенными ранее операциями сложения и умножения на число является линейно-векторным пространством.

Доказательство

1) Так как операция сложения не зависит от представителей классов равенства, то достаточно проверить на закрепленных векторах.

По свойствам параллелограмма .

2) Так как операция сложения не зависит от представителей классов равенства, то достаточно проверить на закрепленных векторах.

Проверяем на представителях классов равенства. Из определения суммы получаем .

3) Нулевой элемент существует по построению. Нулевым вектором является класс закрепленных векторов, у которых начало и конец совпадают.

4) Для каждого закрепленного вектора существует вектор ему коллинеарный с противоположным направлением такой, что .

Для построения такого вектора достаточно отложить точку на расстоянии от точки , равном расстоянию между точками и , но по другую сторону от точки .

5)

Очевидно из подобия.

6) Векторы и коллинеарны и направлены в одну сторону. Их модули равны соответственно и , т.е. равны друг другу. Значит векторы равны.

7) Аналогично 6).

8) Аналогично 6).

Определение 15

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется сумма .

Определение 16

Если все коэффициенты в линейной комбинации равны , то такая линейная комбинация называется тривиальной.

Определение 17

Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты , не все одновременно равные ( ) такие, что .

Определение 18

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Замечание

Если - линейно независимы и , то .

Пример 1

Вектор образует линейно зависимую систему.

Доказательство

Возьмем , тогда . Не все коэффициенты равны , но линейна комбинация равна.

Пример 2

Совокупность векторов, один их которых нулевой образует линейно зависимую систему.

Доказательство

Обозначим векторы . Будем считать, что . Тогда линейная комбинация , но не все коэффициенты равны .

Теорема 6

Если система векторов линейно независимая, то и любая ее подсистема является линейно независимой.

Доказательство

Без ограничения общности будем считать, что подсистема векторов . Если линейно зависимые, то существуют коэффициенты , не все равные такие, что . Тогда линейная комбинация из всех векторов тоже равна . И в этой линейной комбинации не все коэффициенты равны . Получили, что вся система векторов линейно зависимая. Противоречие с условием.

Следствие

Если подсистема векторов системы векторов линейно зависимая, то и система векторов линейно зависима.

Теорема 7

Два коллинеарных вектора на плоскости или в пространстве линейно зависимы.

Доказательство

Если хотя бы один из векторов равен , то векторы линейно зависимы. Если векторы и коллинеарны и не равны , то найдется такое, что

Линейная комбинация равна и не все коэффициенты равны . Значит и линейно зависимы.

Теорема 8

Два вектора на плоскости или в пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда они не коллинеарны.

Доказательство

Если они линейно независимые, то они не могут быть коллинеарны по теореме 6. Если два вектора и неколлинеарны, то линейная комбинация этих векторов может обращаться в ноль только если . Если это не так, то найдутся и одновременно неравные такие, что . Пусть . Тогда . Это значит, что они коллинеарны.

Определение 19

Ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Теорема 9

Три вектора в пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда они не компланарны.

Доказательство

Если вектора линейно независимы, и они компланарны, то любые два из них неколлинеарны.

Обозначим эти вектора , и . Проведем через точку прямые, параллельные векторам и . Они пересекут прямые на которых лежат вектора и в точках и . По определению сложения векторов . Так как коллинеарен , то найдется такое, что . Так как коллинеарен , то найдется такое, что . Получим . Перенесем в одну сторону: . Получим, что наши три вектора линейно зависимы, т.е. получим противоречие с предположением о компланарности.

Если векторы , , не компланарны, то покажем, что они линейно независимы. Допустим противное, т.е. существуют , , такие, что и . Пусть . Тогда . По определению операции сложения векторы , , , отложенные из одной точки лежат в одной плоскости.

То есть векторы , , компланарны. Противоречие.

Определение 20

Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов называется базисом, если для любого вектора существуют такие, что .

Определение 21

Если - базис в пространстве , то коэффициенты в разложении называются координатами вектора в базисе .

Теорема 10

Координаты вектора в базисе определяются единственным образом.

Доказательство

Допустим существует два разложения:


Тогда

Так как линейно независимы, то

Получили .

Теорема 11

При сложении векторов их координаты складываются. При умножении вектора на число его координаты домножаются на это число.

Доказательство

Рассмотрим два произвольных вектора и . - координаты вектора , - координаты вектора , - базис.

По определению координат вектора и единственности координат, координаты вектора равны .

Аналогично, если , то

Координаты равны .

Теорема 12

Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Доказательство

Если какие-то три вектора компланарны, то по доказанному ранее они линейно зависимы. Тогда и все четыре вектора линейно зависимы. Пусть никакие три вектора не компланарны. Отложим их от одной точки . Обозначим их .

Проведем через конец вектора (точку ) плоскости, параллельные плоскостям, проведенным через любую пару векторов . Точки пересечения с прямыми, на которой лежат вектора обозначим соответственно . Существуют ненулевые числа такие, что . При этом . Получили, что или . Значит векторы - линейно зависимы.

Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)

Верны следующие утверждения:

1) Любые три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве.
2) Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости.
3) Любой ненулевой вектор образует базис на прямой.


Доказательство

Докажем первый пункт. По доказанному любые три некомпланарных вектора линейно независимы. Обозначим эти вектора . По теореме 12 для любого вектора система линейно зависима, т.е. существует нетривиальная линейная комбинация . Если , то и должно выполняться . Так как - линейно независимы, то . Тогда . Значит - базис. Все остальные пункты доказываются аналогично.

Определение 22

Системой координат (аффинной системой координат) называется точка и базис . Точка называется началом системы координат.

Определение 23

Координатами точки в системе координат называются координаты вектора .

Замечание

Если в пространстве даны две точки и , то координаты вектора в системе координат равны разности координат точек и .

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.