Сделай Сам Свою Работу на 5

Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду.





Будем использовать два преобразования системы координат – параллельный перенос начала координат и поворот системы координат.

Рассмотрим параллельный перенос начала координат. Если заданы две системы координат X, 0, Y и X1, 01, Y1 (рис. 9.4)

 

yy1

 

 

M

 

01

y0xo x1

 
 


x

Рис. 9.4.

 

Формулы, связывающие координаты точки М в старой и новой системе координат будут:

х1=х-х0 х=х10

или

у1=у-у0 у=у10

где х0, у0 – координаты нового начала системы координат.

Теперь рассмотрим преобразование поворота системы координат X, 0, Y и X1, 0, Y1, при чём система X1 0 Y1 повёрнута относительно исходной системы координат на угол a (рис. 9.5).

 

y1 y

M

 
 


x1

a

0

x

 

Рис. 9.5.

a- угол поворота системы координат.

 
 

Выпишем формулы связывающие координаты точки М в системе координат X, 0, Y с координатами точки М в системе координат X1, 0, Y1


Рассмотрим теперь общее уравнение кривой второго порядка.

Ах2+2Вху+Су2+2Dx+2Ey+F=0

Осуществляя поворот системы координат на угол a. Причём угол a выбирается таким образом, чтобы коэффициент при слагаемом, содержащим произведение ху стал равен нулю.



Обозначим новую систему координат X1 0 Y1. В новой системе координат общее уравнение кривой будет:

А1х121у12+2D1x+2E1y+F=0

Нетрудно заметить, что коэффициент F не изменился.

Если в полученном уравнении коэффициенты А1 и С1 одного знака т.е. если А1С1>0, то мы получаем кривую эллиптического типа.

Если коэффициенты А1 и С1 разных знаков то есть А1С1<0,то уравнение определяет кривую гиперболического типа.

Если один из коэффициентов А1 или С1 равен нулю, то А1С1=0, то получаем кривую параболического вида.

Далее используя формулу параллельного переноса переходим из системы координат X1, 0, Y1 в систему координат X2, 02, Y2 в которой получаем канонические уравнения эллипса, гиперболы или параболы.

 

Пример 1:

Найти эксцентриситет и дирректрисы эллипса заданного уравнением:

х2+2у2=2

Решение:

 
 

Приведём уравнение эллипса к каноническому виду:

Из этого уравнения видно, что

а2=2; b2=1;

тогда с22-b2=2-1=1

 
 

Найдём эксцентриситет

 

Уравнения дирректрис

или х=-2;

 

таким образом уравнения дирректрис



х=2 и х=-2.

 

Пример 2:

Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр его находится в точке (5;0) составить уравнение эллипса, если известно, что его эксцентриситет равен 0,6.

 

Решение:

Для нахождения основного уравнения эллипса используем каноническое уравнение эллипса со смещённым центром.

координаты центра эллипса нам заданы х0=5; у0=0;

таким образом, одна из осей эллипса лежит на оси ОХ, так как эллипс касается оси ОУ в начале координат.

Рассмотрим два случая.

1случай:

Большая ось эллипса лежит на оси ОХ

Тогда а=5;

для эллипса известно что: b2=a2-c2=25-9=16

тогда искомое уравнение эллипса имеет вид:

2 случай:

Малая ось эллипса совпадает с осью ОХ.

Тогда b=5;

Из соотношения

 

Тогда основное уравнение эллипса имеет вид:

 

Пример 3:

Найти уравнение эллипса расстояние между фокусами которого равно 2, а расстояние между дирректрисами равно 10.

 

Решение:

Воспользуемся каноническим уравнением эллипса с центром в начале координат.

 

 

По условию задачи 2с=2 следовательно с=1;

Так расстояние между дирректриссами равно 10, а уравнения директрисс имеют вид:

тогда

 

 

 

Следовательно, имеем:

или а2=5.с=5.1=5; далее используя соотношение b2=a2-c2=5-1=4;

получаем искомое уравнение эллипса:

Пример 4:

Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы заданной уравнением.

16у2-9х2=144

Решение:

Преобразуем заданное уравнение к каноническому виду. Для этого разделим правую и левую часть на 144.

 

Из канонического уравнения можем записать длины полуосей гиперболы, причём фокальной осью является ось ОY.



a=4; b=3

Находим длины действительной и мнимой оси гиперболы.

Действительная ось гиперболы равна 2b=5.

Мнимая ось гиперболы равна 2а=8.

Для нахождения координат фокусов найдём значение (с) из формулы:

b2=c2-a2

c2=a2+b2=16+9=25

c=5

тогда координаты фокусов будут: F1(0;5) и F2(0;-5). Значение эксцентриситета найдём из соотношения так как фокальной является ось ОY.

Пример 5:

Найти уравнение гиперболы если известно, что асимптоты даны уравнением и гипербола проходит через точку

Решение

Сделаем схематический чертёж (рис 9.6)

 

 

y

 
 


 

3

 

 

х

0 5 10

 
 


-3

-6

 

 

Рис 9.6

 

Из уравнения асимптот (*) легко находить полуоси гиперболы а=5; b=3. Теперь остается выяснить какая из осей координат является фокальной. Для этого подставим координату точки М х=10 в уравнение асимптоты точка с координатами находится ниже точки следовательно фокальной осью является ось ОХ и искомое уравнение гиперболы имеет вид:

 

Пример 6:

Составить уравнение параболы, зная, что вершина её лежит вначале координат, направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением оси ОХ, а параметр р равен расстоянию от фокусов гиперболы 2-9у2-36=0 до асимптот.

Решение:

Будем искать уравнение параболы в виде у2=-2рх.

Для нахождения параметра р приведём уравнение гиперболы к каноническому виду 2-9у2=36

из уравнения определяем полуоси гиперболы: а=3; b=2

найдём

тогда координаты фокусов гиперболы и

уравнения асимптот гиперболы:

возьмем фокус и асимптоту

преобразуем уравнение асимптоты к виду 3у-2х=0

Используя формулу расстояния от точки до прямой на плоскости:

Получим:

таким образом параметр р=d=2

тогда уравнение искомой параболы:

Пример 7:

Дана парабола у2=6х, через точку (4,1) провести такую хорду, которая делилась бы в этой точке пополам.

Решение:

Сделаем вспомогательный чертеж (рис 9.7)

 
 


y

N

 
 


 

M(4;1)

x

0

 

K

 

 

Рис. 9.7

Обозначим точки пересечения хорды и параболы К и N. Пусть координаты этих точек неизвестны Ккк); Nn;yn). Так как точки К и N лежат на известной параболе то имеем два состояния.

так как точка М делит отрезок КN пополам то имеем ещё 2 соотношения.

Рассмотрим систему.

решая квадратное уравнение находим:

соответственно:

 

По двум известным точкам М и N можно записать уравнение прямой:

1 случай:

М(4;1) ;

2 случай: М(4;1)

В обоих случаях получили одно и то же уравнение хорды:3х-у-11=0

 

Пример 8:

Построить кривую, определяемую уравнением ;

Решение:

Используя формулы поворота системы координат, перейдём в новую систему координат X1, 0, Y1

Сгруппируем слагаемые

Приравняем к нулю коэффициент при члене х1* х2

тогда

Прежде чем подставлять значения тригонометрических функций, преобразуем уравнение:

теперь подставим значения sina и cosa

полученное уравнение является уравнением параболического типа. Для получения канонического уравнения параболы необходимо осуществить параллельный перенос начала координат.

Воспользуемся формулами параллельного переноса системы координат:

 

 

Получим

Для того чтобы получить каноническое уравнение параболы приравняем к нулю коэффициент при х2

Таким образом координаты начала координат новой системы X2, 02, Y2 в системе координат X1, 0, Y1 будут Каноническое уравнение параболы в системе координат X2, 02, Y2 имеет вид:

Построим полученную параболу (рис 9.8)

 

у2 у х2


у1

02 х1

 

 


0 х

 

 

Рис 9.8.

Задачи для самостоятельного решения

 

1. Определить координаты центра и радиус окружности, выраженной уравнением: х22-4х+2у+1=0.

2. Найти уравнение окружности центр которой лежит в точке (4,7) и которая касается прямой 3х-4у+1=0.

3. Эллипс касается оси абсцисс в точке (8;0) и оси ординат в точке (5;0) составить уравнение эллипса, если известно что оси его параллельны осям координат.

4. Написать уравнение эллипса, малая полуось которого равна и дирректисами которого служат прямые .

5. Найти касательные к эллипсу проходящие через точку (-3;1).

6. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы заданной уравнением: 25х2-144у2=3600.

7. Дан эллипс: . Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса.

8. Найти касательные к гиперболе в точках пересечения её с прямой 3х-5у=0.

9. Гипербола касается прямой х-у-3=0 в точке (5;2). Составить уравнение этой гиперболы.

10. Составить уравнение параболы, зная, что вершина её лежит в точке (-2;1), направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением оси ОY, а параметр Р равен расстоянию между дирректрисами эллипса 2+4у2-48=0.

11. Дана парабола у2=-8х. Через точку (-1;1) провести хорду, которая в этой точке делится пополам.

12. Найти уравнение касательной к параболе у2=16х, которая была бы параллельна прямой 2х-у+5=0.

13. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка. Построить график х2-ху+у2+2х-4у=0.

14. Найти центр кривой второго порядка, выражаемой уравнением 2-7ху+5у2+х-3у-3=0.

15. Составить каноническое, уравнения, а точнее построить кривые выраженные уравнениями:

а)2ху-4-2у+3=0;

б) х2-2у2-4х+2у+1=0;

в) 5х2+12ху-22х-12у-19=0;

г) х2+2ху+у2+3х+у=0;

д) 6ху+8у2-12х-26у+11=0;

е) х2-2ху+у2-10х-6у+25=0;

ж) 7х2-24ху-38х+24у+175=0;

з) 5х2+6ху+5у2-16х-16у-16=0;

и) х2-2ху+у2-х-2у+3=0;

к) 5х2+8ху+5у2-18х-18у+9=0.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.