Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Этот метод, как и предыдущий, используется для решения квадратичных систем, то есть систем имеющих одинаковое число уравнений и неизвестных. Причём для применения этого метода основная матрица системы должна быть невырожденной, и таким образом для нее существует обратная матрица. Рассмотрим применение этого метода на примере системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Для данной системы уравнений имеем основную матрицу системы, матрицу столбец свободных членов и матрицу столбец неизвестных:

; ; ;

тогда система уравнений в матричном виде имеет вид:

так как матрица А по условию является невырожденной то для неё существует обратная матрица А^-1. Домножим матричное уравнение на матрицу А^-1 слева, получим.

Произведение , так как ЕХ=Х окончательно получим Х=А^-1В.

Таким образом, для решения системы матричным методом, необходимо найти обратную матрицу основной матрицы системы А и затем, умножив ее на матрицу столбец получим матрицу столбец неизвестных.

Рассмотрим примеры, связанные с темой главы 7.

Пример 1:

Решить систему уравнений тремя методами:

1. Методом Гаусса;

2. По формулам Крамера;

3. Матричным методом.

Решение методом Гаусса:

Для использования этого метода выпишем расширенную матрицу системы, включив в нее столбец контрольных сумм КΣ и столбец в котором указываем базисные переменные:

В конечной матрице содержатся только базисные неизвестные, поэтому система имеет единственное решение.

х₁=-1; х₂=2; х₃=0.

Приведём описание действий, которые были выполнены в процессе элементарных преобразований.

1. В качестве разрешающего элемента выбран элемент, стоящий в первой строке и первом столбце. С помощью элементарных преобразований в первом столбце получены нулевые элементы во второй и третьей строках. В результате этих преобразований переменная х₁ стала базисной.

2. Элементы второй строки умножаем на .

3. В качестве разрешающего элемента выберем элемент второй строки расположенный во втором столбце. С помощью элементарных преобразований во втором столбце получаем нулевые элементы в первой и третьей строках. В результате этих преобразований переменная х₂ становится базисной.

4. Элементы третьей строки умножаем на .

5. В качестве разрешающего элемента выбираем элемент третьей строки стоящий в третьем столбце. С помощью элементарных преобразований в третьем столбце получены нулевые элементы в первой и второй строках.

Решение системы по формулам Крамера:

Для использования формул Крамера, необходимо выписать четыре определителя третьего порядка.

тогда используя формулы Крамера находим х₁, х₂, х₃:

Решение системы матричным методом:

Для решения системы матричным методом выпишем основную матрицу системы, матрицу столбец неизвестных и матрицу столбец свободных членов.

;

Для использования матричного метода необходимо найти обратную матрицы А^-1. Вычислим сначала определитель основной матрицы.

(Смотри предыдущий пример)

Матрица невырожденная, следовательно, существует обратная матрица.

Найдём алгебраические дополнения ко всем элементам определителя основной матрицы:

тогда обратная матрица имеет вид:

найдём матрицу Х.

таким образом х₁=-1; х₂=2; х₃=0.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить систему по формулам Крамера и матричным способом.

2. Решить систему уравнений методом Жордана Гаусса.

a.

b.

c.

d.

Глава 8 Арифметическое n-мерное векторное пространство.

Арифметические векторы.

Выше мы дали понятие вектора на плоскости и в пространстве.

На плоскости вектор определяется двумя координатами, то есть парой чисел. В пространстве вектор определяется уже тройкой чисел. Причём в этих случаях возможна была геометрическая интерпретация. Во многих задачах экономики приходится встречаться с величинами, которые определяются гораздо большим числом характеристик чем три. Поэтому обобщим понятие вектора на тот случай, когда число характеристик равно n.

Определение 1: Арифметическим n - мерным вектором называется любая последовательность из n действительных чисел:

а₁, а₂,…,а_n

Обозначать арифметический вектор будем как и обычный вектор чертой сверху, числа а₁, а₂, …, а_n называются компонентами или координатами вектора.

Пример:

Имеем арифметический вектор с координатами –1, 2, 3, 0, 1.

Многие определения, введённые для векторов, на плоскости и в пространстве фактически обозначаются на случай двух координат. Тем не менее, повторим их.

Определение 2: Дав вектора и с одинаковым числом координат:

называются равными если: а₁=b₁; а₂=b₂…a_n=b_n.

равенство векторов записывают: .

Определение 3: Вектор, у которого все компоненты равны нулю, называется нулевым вектором (0,0,…0).

Обозначается: .

Определение 4: Суммой двух векторов и называется вектор

Определение 5: Произведением вектора на число называется вектор.

Операции сложения двух арифметических векторов и умножение арифметического вектора на число обладает следующими свойствами.

1. - коммутативность сложения.

2. - ассоциативность сложения.

3. - для любого .

4. Для любого вектора существует такой вектор , что + =0.

5. - дистрибутивность относительно суммы векторов.

6. - дистрибутивность относительно суммы чисел.

7. - ассоциативность относительно умножения на число.

8. - существование нейтрального элемента при умножении.

Приведённые свойства почти очевидны и являются следствиями свойств сложения и умножения чисел.

Определение 6: Арифметическим n – мерным пространством называется множество всех n – мерных арифметических векторов с введёнными выше операциями сложения векторов и умножения вектора на число. Обозначается Rⁿ.

Очень важным понятием для арифметических векторов является скалярное произведение, но для арифметических векторов оно определяется несколько иначе.

Определение 7: Скалярным произведением двух векторов и называется число .

Скалярное произведение обладает теми же свойствами, которые были введены для трёхмерных векторов.

Модуль арифметического n – мерного вектора определяется, так же как и в трёхмерном пространстве.

Аналогично вводится и понятие угла между двумя не нулевыми векторами.

Определение 8: Неравенство Коши-Буияковского. Для любых двух векторов и из пространства Rⁿ справедливо неравенство:

Определение 9: Два арифметических вектора и

называются ортогональными если их скалярное произведение равно нулю. или .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: