Параметрические уравнения прямой.

Приравнивая в канонических уравнениях прямой каждую из дробей некоторому параметру t:

Получим уравнения выражающие текущие координаты каждой точки прямой через параметр t.

таким образом параметрические уравнения прямой имеют вид:

Уравнения прямой проходящей через две заданные точки.

Пусть заданы две точки М₁ (x₁,y₁,z₁) и М₂ (x₂,y₂,z₂). Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки получаются так же, как аналогичное такое уравнение на плоскости. Поэтому сразу приведём вид этого уравнения.

Прямая на пересечении двух плоскостей. Общее уравнение прямой в пространстве.

Если рассмотреть две не параллельные плоскости, то их пересечением будет прямая.

Если нормальные вектора и неколенеарны.

Ниже при рассмотрении примеров мы покажем способ преобразования таких уравнений прямой к каноническим уравнениям.

5.4 Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть две прямые заданны своими каноническими уравнениями.

За угол между двумя прямыми примем угол между направляющими векторами.

и

Условие перпендикулярности двух прямых сводится к условию перпендикулярности их направляющих векторов и , то есть к равенству нулю скалярного произведения: или в координатной форме: .

Условие параллельности двух прямых сводится к условию параллельности их направляющих векторов и

5.5 Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть заданы уравнения прямой:

и плоскости . Углом между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость (Рис 5.5).

Рис 5.5

В случае перпендикулярности прямой к плоскости направляющий вектор прямой и нормальный вектор к плоскости коллинеарны. Таким образом, условие перпендикулярности прямой и плоскости сводится к условию коллинеарности векторов

В случае параллельности прямой и плоскости их указанные выше вектора взаимно перпендикулярны. Поэтому условие параллельности прямой и плоскости сводится к условию перпендикулярности векторов ; т.е. их скалярное произведение равно нулю или в координатной форме: .

Ниже рассмотрены примеры решения задач, связанных с темой главы 5.

Пример 1:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1,2,4) перпендикулярную прямой, заданной уравнением:

Решение:

Воспользуемся уравнением плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.

А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0

В качестве точки возьмём точку А (1,2,4), через которую проходит по условию плоскость.

Зная канонические уравнения прямой, мы знаем вектор, параллельный прямой .

В силу того, что по условию прямая перпендикулярна искомой плоскости, направляющий вектор может быть взят в качестве нормального вектора плоскости.

Таким образом уравнение плоскости получим в виде:

2(х-1)+1(у-2)+4(z-4)=0

2х+у+4z-16=0

2х+у+4z-20=0

Пример 2:

Найти на плоскости 4х-7у+5z-20=0 такую точку Р, для которой ОР составляет с осями координат одинаковые углы.

Решение:

Сделаем схематический чертёж. (Рис. 5.6)

z

Р

у

х

Рис 5.6

Пуст точка Р имеет координаты . Так как вектор составляет одинаковые углы с осями координат, то направляющие косинусы этого вектора равны между собой

Найдём проекции вектора :

тогда легко находятся направляющие косинусы этого вектора.

Из равенства направляющих косинусов следует равенство:

х_р=у_р=z_р

так как точка Р лежит на плоскости, то подстановка координат этой точки в уравнение плоскости обращает его в тождество.

4х_р-7х_р+5х_р-20=0

2х_р=20

х_р=10

Соответственно: у_р=10; z_р=10.

Таким образом искомая точка Р имеет координаты Р(10;10;10)

Пример 3:

Даны две точки А (2,-1,-2) и В (8,-7,5). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку В, перпендикулярную отрезку АВ.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.

А(х-х₀)+В(у-у₀)+C(z-z₀)=0

В качестве точки используем точку В (8,-7,5), а в качестве вектора, перпендикулярного плоскости вектор . Найдём проекции вектора :

тогда уравнение плоскости получим в виде:

6(х-8)-6(у+7)+7(z-5)=0

6х-48-6у-42+7z-35=0

6х-6у+7z-35=0

6х-6у+7z-125=0

Пример 4:

Найти уравнение плоскости, параллельной оси ОY и проходящей через точки К(1,-5,1) и М(3,2,-2).

Решение:

Так как плоскость параллельна оси ОY, то воспользуемся неполным уравнением плоскости.

Ax+Cz+D=0

В силу того, что точки К и М лежат на плоскости , получим два условия.

Выразим из этих условий коэффициенты А и С через D.

Подставим найденные коэффициенты в неполное уравнение плоскости:

так как , то сокращаем D:

Пример 5:

Найти уравнение плоскости проходящей через три точки М(7,6,7), К(5,10,5), R(-1,8,9)

Решение:

Воспользуемся уравнением плоскости проходящей через 3 заданные точки.

подставляя координаты точек М,К,R как первой, второй и третьей получим:

раскроем определитель по 1^ой строке.

Пример 6:

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ (8,-3,1); М₂ (4,7,2) и перпендикулярно плоскости 3х+5у-7z-21=0

Решение:

Сделаем схематический чертёж (Рис 5.7)

Рис 5.7

Обозначим заданную плоскость Р₂ а искомую плоскость Р_2.. Из уравнения заданной плоскости Р₁ определяем проекции вектора , перпендикулярного плоскости Р_1.

Вектор путём параллельного переноса может быть перемещён в плоскость Р₂, так как по условию задачи плоскость Р₂ перпендикулярна плоскости Р₁ , а это значит вектор параллелен плоскости Р_2.

Найдём проекции вектора лежащего в плоскости Р₂:

теперь мы имеем два вектора и , лежащих в плоскости Р₂. очевидно вектор , равный векторному произведению векторов и будет перпендикулярен плоскости Р₂, т. к. он перпендикулярен и , поэтому его нормального вектора плоскости Р_2.

Векторы и заданы своими проекциями поэтому:

Далее, используем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярную вектору. В качестве точки можно взять любую из точек М₁ или М₂, например М₁(8,-3,1); В качестве нормального вектора к плоскости Р₂ берём .

74(х-8)+25(у+3)+50(z-1)=0

3(х-8)+(у-3)+2(z-1)=0

3х-24+у+3+27-2=0

3х+у+2z-23=0

Пример 7:

Прямая задана пересечением двух плоскостей. Найти канонические уравнения прямой.

Рис 5.8

Решение:

Имеем уравнение в виде:

Надо найти точку (х₀,у₀,z₀), через которую проходит прямая и направляющий вектор .

Выберем произвольно одну из координат. Например, z=1, тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Таким образом, мы нашли точку лежащую на искомой прямой (2,0,1).

В качестве направляющего вектора искомой прямой возьмём векторное произведения векторов и , являющихся нормальными векторами т.к. , а значит параллельно искомой прямой.

Таким образом, направляющий вектор прямой имеет проекции . Используя уравнение прямой проходящий через заданную точку параллельно заданному вектору:

Итак искомое каноническое уравнение имеет вид:

Пример 8:

Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости 2x+3y+3z-8=0

Решение:

Запишем заданное уравнение прямой в параметрическом виде.

х=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

каждой точке прямой соответствует единственное значение параметра t. Для нахождения параметра t соответствующего точке пересечения прямой и плоскости подставим в уравнение плоскости выражение х, у, z через параметр t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

9t-9=0

t=1

тогда координаты искомой точки

искомая точка пересечения имеет координаты (1;1;1).

 

Пример 9:

Найти уравнение плоскости проходящей через параллельные прямые.

Решение:

Сделаем схематический чертёж (Рис 5.9)

 

 

Рис 5.9

Из заданных уравнений прямых и определяем проекции направляющих векторов этих прямых . Найдём проекции вектора , лежащего в плоскости Р, а точки и берём из канонических уравнений прямых М₁ (1,-1,2) и М₂ (0,1,-2).

Таким образом, имеем два неколлинеарных вектора и принадлежащих искомой плоскости Р. Вектор являющийся векторным произведением этих векторов, можно взять в качестве направляющего вектора

Теперь у нас есть вектор перпендикулярный плоскости и точка лежащая в плоскости. Тогда искомое уравнение плоскости имеет вид:

Пример 10:

Найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми.

Решение:

Сделаем схематический чертёж (Рис 5.10)

p

M ₁ S₁ L₁

M₂ L₂

		Рис 5.10

Для решения этой задачи найдём уравнение вспомогательной плоскости Р перпендикулярной параллельным прямым L₁ и L₂ и проходящей через точку М₁ (1,-1,2) лежащую на прямой L₁. В качестве направляющего вектора этой плоскости может быть взять направляющий вектор прямой L₁ . Тогда уравнение плоскости Р

1(х-1)-2(у+1)+3(z-2)=0

х-1-2у-2+3z-6=0

х-2у+3z-9=0

Найдём точку пересечения прямой L₂ и плоскости Р, для этого уравнение прямой L₂ представим в параметрическом виде:

x=t; y=-2t+1; z=3t-2

Находим значение параметра t соответствующее точке пересечения прямой L₂ и плоскости Р, точка М₂

таким образом координаты точки М₂

Найдём расстояние между двумя точками М₁ и М₂ это и будет расстояние между параллельными прямыми L₁ и L₂.

Задачи для самостоятельного решения

1. Проверить проходит ли плоскость 3х-5у+2z-17=0 через точки А(4,1,2); В(2,-1,3); С(7,1,2)

2. Найти на плоскости, заданной уравнением у+z-2=0, такую точку Р, чтобы прямая ОР составляла с осями ОY и oz углы 60⁰.

3. Даны две точки А(-7,2,-1) и В(3,4,10). Найти уравнение плоскости проходящей через точку В перпендикулярную и отрезку АВ.

4. Найти уравнение плоскости проходящей через ось ОХ и через точку (3,2,-7).

5. Найти угол между плоскостями х+у-11=0 и 3х+8=0.

6. Найти уравнение плоскости проходящей через начало координат и перпендикулярной плоскостям: х-у+z-7=0; 3х+2у-11z+5=0.

7. Определить расстояние от точки А(1,2,1) до плоскости х+2у+2z-10=0.

8. Найти расстояние между параллельными плоскостями: 3х+2у-6z-56=0; 3х+2у-6z-35=0.

9. Определить лежат ли точки А(5,-2,-3) и В(8,3,1) на прямой заданной пересечением двух плоскостей:

10. Привести уравнение прямой, заданной пересечением двух плоскостей к каноническому виду:

11. Проверить лежат ли прямые в одной плоскости.

12. Найти угол между прямой и плоскостью, если прямая задана как пересечение двух плоскостей: , а уравнение плоскости имеет вид: 6х+15у-10z+31=0.

13. Найти уравнение плоскости проходящей через точку (-1,-2,-3) и параллельно прямым

14. Составить уравнение плоскости проходящей через прямую, заданную пересечением двух плоскостей: и параллельно прямой х=у=z.

15. Решить задачу, рассмотренную в примере 11 без составления уравнения вспомогательной плоскости.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: