Глава 4 Прямая на плоскости.

Предыдущая12 3 4 5 6 7 8 9 Следующая

УКД 51.658.01

Руководство к решению задач по аналитической геометрии и векторной алгебре. Учебное пособие.

/И.И. Антонова, О.М. Кокшаров – М.:МГУПИ, 2006. – 114 стр.

Настоящее пособие предназначено для подготовки студентов различных форм обучения по специальностям: 230101 и 010502.

Работа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры ИТ-1 «Высшей математики».

Содержание:

Глава 1 Система координат. Операции над векторами.............................. 4

Глава 2 Определители................................................................................... 12

Глава 3 Понятие скалярного, векторного и смешанного произведения векторов............................................................................................................. 18

Глава 4 Прямая на плоскости....................................................................... 30

Глава 5 Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве....... 48

Глава 6 Матрицы и их свойства................................................................... 66

Глава 7 Системы линейных уравнений...................................................... 73

Глава 8 Арифметическое n-терное векторное пространство. Преобразование декартовых координат на плоскости........................................... 82

Глава 9 Поверхности второго порядка. Преобразование декартовых координат на плоскости.......................................................................................... 89

Глава 10 Поверхности второго порядка.................................................. 104

Приложение.................................................................................................. 112

Глава1 Система координат. Операции над векторами.

1.1 Понятие о системах координат.

В курсе средней школы вы уже знакомились с различными системами координат. Напомним о них. Рассмотрим самую простую систему координат на прямой.

М(х)

0 1 х

Рис. 1.1

Если установлено положительное направление, на прямой зафиксирована определённая точка, которую будем называть началом координат, установлена единица масштаба, то говорят, что на прямой задана система координат.

Если на прямой задана система координат, то положение каждой точки на прямой можно определить одним числом.

Аналогично вводится понятие системы координат на плоскости, которая используется уже для определения положения точек на плоскости.

М₂ М(х,у)

0 М₁х

Рис. 1.2

Если на плоскости зафиксирована точка 0 (начало координат), через точку 0 проведены две взаимно-перпендикулярные оси ОХ и ОУ (Рис. 1.2), на осях установлены единицы масштаба, то говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат.

Если на плоскости задана прямоугольная система координат, то любая точка плоскости задаётся упорядоченной парой чисел, которые называются координатами. Если рассмотреть в пространстве фиксированную точку (начало координат), провести через неё три взаимно-перпендикулярные прямые оси ОХ,ОУ,ОZ, (Рис. 1.3) на осях установить единицы масштаба, то говорят, что в пространстве задана прямоугольная система координат.

М₃

М(х,у,z)

0 М₂у

М₁ Р(х,у)

Рис. 1.3

В пространстве каждой точке соответствуем единственная упорядоченная тройка чисел. Справедливо и обратное утверждение.

1.2 Понятие вектора. Действия над векторами.

Введём теперь в рассмотрение понятие векторной величины.

· Скалярная величина – это такая величина, которая определяется только числовым значением. (масса, плотность, объем, и т.д.). В математике определение вектора даётся абстрактно.

· Вектором называют отрезок прямой на котором установлено направление.

А – начало вектора В

В – конец вектора

Обозначения:

Рис. 1.4

Расстояние между началом и концом вектора называют длиной вектора (модулем) обозначают или .

· Если начало и конец вектора совпадают то вектор называется нулевым.

· Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

· Два вектора и называются равными если:

o Их длины равны, т.е.

o Они коллинеарные

o Одинаково направлены

· Векторы и называются противоположными:

o Их длины равны

o Они коллинеарные

o Они противоположно направленные

· Суммой двух векторов и называется вектор проведённый из начала вектора в конец вектора , если конец вектора и начало вектора совмещены (Рис. 1.5)

Рис. 1.5

Операция сложения векторов обладает свойством переместительности и сочетательности

1) (переместительные)

2) (сочетательные)

Операция вычитания векторов вводится как операция, обратная сложению.

· Разностью двух векторов и называется такой вектор , что

+ =

Вектор это вектор который

проведён из конца вектора

в конец вектора , если начало

и совмещены.

Рис. 1.6

· произведением вектора на число называется вектор обладающий следующими свойствами:

1. =

2. Вектор коллинеарен вектору и направлен также как вектор , если и противоположен вектору если .

Свойства умножения вектора на число:

а)

б)

в)

Используя операцию умножения вектора на число можно ввести аналитическое условие коллинеарности двух векторов.

· Чтобы вектора и были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

где - некоторое число.

Прежде чем перейти к исследованию связи векторов и систем координат необходимо ввести ещё одну операцию действия над векторами, это проекция вектора на ось.

· Числовой проекцией вектора на ось называется число равное длине вектора где и проекции на ось соответственно точек А и В взятое со знаком ‘-’ если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком ‘-’ если направление вектора противоположно направлению оси . Проекция вектора на ось обозначается (Пр_l )

Рис. 1.7

Таким образом:

Пр_l , если направление совпадает с осью

Пр_l , если направление вектора противоположно оси .

Свойства операций:

1. Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Пр_l =Пр_l + Пр_l

2. Проекция вектора на ось равна длине вектора умноженной на косинус угла между осью и вектором т.е. Пр_l = .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак проекции Пр_е = Пр_l .

Мы рассмотрели способ задания вектора с помощью определения его длины и направления. Однако большой интерес представляет способ задания вектора с помощью чисел.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат ОХУZ. Рассмотрим в пространстве произвольный вектор . Найдём его проекции на оси координат и введём обозначения:

x=Пр_ох

y=Пр_оу

z=Пр_о_z

x, y, z – координаты вектора.

М₃

М(х,у,z)

0 М₂у

М₁

Рис. 1.8

Так как проекция вектора на ось определяется однозначно, то каждому вектору соответствует единственная упорядоченная тройка чисел x, y, z – координаты вектора .

Рассмотрим операции над векторами, заданными своими координатами.

1. При сложении векторов их координаты складываются. Так если

и , то

2. При вычитании векторов их координаты вычитаются.

3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Пусть и - число, тогда

4. Если заданы координаты начала и конца вектора - точки и , то координаты вектора можно вычислить, если из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора, таким образом, вектор имеет координаты:

5. Если два вектора и заданы своими координатами

то для того чтобы они были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их координаты были попорциональны.

6. Если заданы координаты концов отрезка ; и некоторая точка М делит отрезок в заданном отношении , то есть:

то координаты точки находятся по формулам:

в случае деления отрезка напополам и формулы преобразуются к виду:

7. Если вектор задан своими координатами, то его длина определяется соотношением.

8. Если вектор задан своими координатами, и составляет с осями координат углы (Рис. 1.9)

М₃

0 М₂у

М₁

Рис. 1.9

то косинусы этих углов, называемые направляющими косинусами определяются следующими соотношениями.

9. Если в пространстве задана прямоугольная система координат ОХУZ, и в направлении осей координат заданы единичные векторы (Рис. 1.10), то любой вектор , имеющий координаты x, y, z может быть разложен по единичным векторам базиса т.е. представлен в виде:

М₃

0 М₂у

М₁

Рис. 1.10

Примеры решения задач.

Задача 1:

Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами: А (-4;5;3), В(0;-3;2), С(2;-1;6)

Решение:

Рис. 1.11

Известно, что центр тяжести треугольника расположен в точке К пересечения медиан (Рис. 1.11), причём

найдём координаты точки D, как середины отрезка ВС

используя формулу деления отрезка в заданном отношении найдём координаты точки К.

таким образом точка К имеет координаты:

Задача 2:

Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(3;5), В(1;1), С(5,-1). Найти координаты четвёртой вершины?

Решение:

В С

А D

Рис. 1.12

Известно из свойств параллелограмма, что диагонали в точке пересечения делятся пополам (Рис. 1.12). Тогда легко найти координаты точки К, как середины диагонали АС.

К(4;-3) используя то, что точка К является серединой диагонали ВD можем записать соотношения:

Подставляя координаты точек В и К получим:

таким образом, точка D имеет координаты: D(7;-7)

Глава1 Система координат. Операции над векторами.

1.1 Понятие о системах координат.

М(х)

0 1 х

Рис. 1.1

Если на прямой задана система координат, то положение каждой точки на прямой можно определить одним числом.

М₂ М(х,у)

0 М₁х

Рис. 1.2

М₃

М(х,у,z)

0 М₂у

М₁ Р(х,у)

Рис. 1.3

1.2 Понятие вектора. Действия над векторами.

Введём теперь в рассмотрение понятие векторной величины.

· Вектором называют отрезок прямой на котором установлено направление.

А – начало вектора В

В – конец вектора

Обозначения:

Рис. 1.4

Расстояние между началом и концом вектора называют длиной вектора (модулем) обозначают или .

· Если начало и конец вектора совпадают то вектор называется нулевым.

· Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

· Два вектора и называются равными если:

o Их длины равны, т.е.

o Они коллинеарные

o Одинаково направлены

· Векторы и называются противоположными:

o Их длины равны

o Они коллинеарные

o Они противоположно направленные

Рис. 1.5

Операция сложения векторов обладает свойством переместительности и сочетательности

1) (переместительные)

2) (сочетательные)

Операция вычитания векторов вводится как операция, обратная сложению.

· Разностью двух векторов и называется такой вектор , что

+ =

Вектор это вектор который

проведён из конца вектора

в конец вектора , если начало

и совмещены.

Рис. 1.6

· произведением вектора на число называется вектор обладающий следующими свойствами:

1. =

2. Вектор коллинеарен вектору и направлен также как вектор , если и противоположен вектору если .

Свойства умножения вектора на число:

а)

б)

в)

· Чтобы вектора и были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

где - некоторое число.

Рис. 1.7

Таким образом:

Пр_l , если направление совпадает с осью

Пр_l , если направление вектора противоположно оси .

Свойства операций:

4. Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Пр_l =Пр_l + Пр_l

5. Проекция вектора на ось равна длине вектора умноженной на косинус угла между осью и вектором т.е. Пр_l = .

6. Постоянный множитель можно выносить за знак проекции Пр_е = Пр_l .

x=Пр_ох

y=Пр_оу

z=Пр_о_z

x, y, z – координаты вектора.

М₃

М(х,у,z)

Предыдущая12 3 4 5 6 7 8 9 Следующая

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: