Упругие свойства твёрдых тел

201.Стержень из стали длиной l = 2 м и площадью поперечного сечения S = 2 см² растягивается некоторой силой, причём удлинение х = 0,4 см. Вычислить потенциальную энергию П растянутого стержня и объёмную плотность w энергии. Сделайте чертёж, что позволит осуществить аналитическую запись элементарной работы, совершаемой некоторой силой. Работа идёт на увеличение потенциальной энергии упруго деформированного стержня. Уточните понятие объёмной энергии (учебник, лекции) и преобразуйте. Если трудно, приходите, помогут.

202.Горизонтально расположенный медный стрежень длиной ℓ = 1,0 м вращают вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. При какой частоте вращения он может разорваться? Сделайте чертёж, уточните, почему возможен разрыв. Поскольку система неинерциальная, упругие силы должны обеспечить элементу массы изменение скорости по направлению. Чертёж поможет записать элементарную силу, обеспечивающую элементу массы необходимое изменение направления скорости. Интегрирование позволяет найти максимальную действующую силу. Уточните понятие упругой силы через напряжение.

203.Какое давление необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его не изменилась при повышении температуры на 100 ^оС? Найдите выражение для линейного расширения твёрдого тела. Учтите, удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения. Преобразуйте.

204.Найти энергию упругой деформации стального стержня массы m = 3,1 кг, который растянут так, что его относительное удлинение e = 1×10^–3. Сделайте чертёж. Запишите выражение для элементарной работы, где природа силы раскрывается через упругую деформацию. Интегрируйте, учитывая, что переменная изменяется до максимального приращения. Далее преобразуйте с учётом данных.

205.При изготовлении некоторых точных приборов необходимо обеспечить постоянство разности длин двух стержней при изменении температуры. Какие длины должны иметь железный и медный стержни при 0 ^оС, чтобы разность их длин Dℓ не зависела от температуры и оставалась равной 10 см? Воспользуйтесь выражением для линейного расширения твёрдых тел, получите систему из двух уравнений. Преобразуйте, должно получиться, если будете внимательны.

206.Концы стального стержня сечением S = 2 см² прочно закреплены между двумя стенками при температуре t₁ = 15 ^оС. С какой силой стержень будет действовать на опоры, если его нагреть до t₂ = 150 ^оС? Учтите уравнение для линейного расширения твёрдого тела, а также связь нормального напряжения с относительным удлинением и модулем Юнга. Преобразуйте, должно получиться.

207.Между двумя столбами натянута с небольшим усилием лёгкая проволока длиной 2×ℓ. К проволоке посередине подвешивают фонарь массой m. Площадь поперечного сечения проволоки равна S, модуль упругости материала Е. Определите угол провисания проволоки, считая его малым. Сделайте чертёж. Это поможет понять как направление сил растягивающих проволоку, так и упругих сил, компенсирующих растягивающие силы. Установите между ними связь, не забывая, что угол провисания мал. Из прямоугольного треугольника можно найти абсолютное удлинение проволоки. В преобразованиях внимательнее, углы малые, что потребует перехода от функции «косинус» к функции «синус». Если трудно, подходите, помогут.

208.Из скольких стальных проволок диаметром d = 2 мм должен состоять трос, рассчитанный на подъём груза массой m = 16 т? Сделать чертёж, выделить из него одну жилу и записать для неё растягивающую силу исходя из данных задачи. Эта растягивающая сила будет создавать в проволоке (жиле) напряжение, запишите его аналитическое выражение. Не забудьте уточнить понятие «напряжение». Преобразуйте.

209.Стальная проволока диаметром d = 1,0 мм натянута в горизонтальном положении между двумя зажимами, находящимися на расстоянии ℓ = 2 м друг от друга. К середине проволоки повесили груз массы m = 0, 25 кг. На сколько сантиметров опустится точка подвеса груза? Сделайте чертёж, что поможет понять как направление сил растягивающих проволоку, так и упругих сил, компенсирующих растягивающие силы. Установите между ними связь, не забывая, что угол провисания мал. Из прямоугольного треугольника можно найти абсолютное удлинение проволоки. В преобразованиях внимательнее, углы малые, что потребует перехода от функции «косинус» к функции «синус». Если трудно, подходите, помогут.

210.Верхний конец свинцовой проволоки диаметром d = 2 см и длиной ℓ = 60 м закреплён неподвижно. К нижнему концу подвешен груз массой m = 100 кг. Найти напряжение материала на середине длины проволоки. Сделайте чертёж. Уточните понятие «напряжение» материала (учебник, лекции, интернет), какие силы его создают.

211.Однородный стержень длиной ℓ = 1,2 м, площадью поперечного сечения S = 2 см² и массой m = 10 кг вращается с частотой n = 2 Гц вокруг вертикальной оси, проходящей через конец стержня, скользя при этом без трения по горизонтальной поверхности. Найти наибольшее напряжение материала стержня при данной частоте вращения. Сделайте чертёж. Поскольку система неинерциальная, упругие силы должны обеспечить элементу массы изменение скорости по направлению. Чертёж поможет записать элементарную силу, обеспечивающую элементу массы необходимое изменение направления скорости. Интегрирование позволяет найти максимальную действующую силу. Уточните понятие упругой силы через «напряжение».

212.К стальному стержню длиной l = 3 м и диаметром d = 2 см подвешен груз массой m = 2,5 т. Определить напряжение в стержне, относительное и абсолютное удлинения стержня. Сделайте чертёж, уточните понятия: напряжение, абсолютное и относительное удлинения. Как связана сила упругости с этими величинами?

213.Резиновый шнур растянут так, что его длина увеличилась в 2 раза. Каков диаметр растянутого шнура, если до растяжения он был 1см, а коэффициент Пуассона для резины 0,5? Сделайте чертёж, уточните понятия: относительное изменение длины, относительное поперечное сжатие, коэффициент Пуассона; как они связаны между собой.

214.Два вагона массами m = 20 т, двигавшиеся навстречу друг другу со скоростями υ = 2 м/с, сталкиваются. Определить сжатие пружины буферов вагонов, если под действием силы F = 40 кН пружина сжимается на х = 1 см. Считать, что сжатие пружины пропорционально силе. Сделайте чертёж, уточните, на что расходуется энергия движения. Из условия задачи возможно определение коэффициента жёсткости. Будьте внимательны, нужно найти сжатие одной пружины.

215.При нагревании некоторого металла от 0 до 500 °С его плотность уменьшается в 1,027 раза. Найти для этого металла коэффициент линейного теплового расширения, считая его постоянным в данном интервале температур. Лучше сделать чертёж, несмотря на то, что задача покажется лёгкой. Запишите плотность тела до нагревания и после его нагревания. В записях «столкнутся» линейное и объёмное расширения. Далее всё просто. Если встретятся трудности, приходите, помогут.

216.Стальная проволока длиной 1 м закреплена одним концом так, что может совершать колебания в вертикальной плоскости. К свободному концу проволоки прикрепили груз массой 50 кг. Проволоку с грузом отклоняют на высоту подвеса и отпускают. Определить абсолютное удлинение проволоки в нижней точке траектории при движении груза. Сечение проволоки 0,8 мм², массой проволоки пренебречь. Сделайте чертёж, определитесь в действующих силах. Уточните природу силы, обеспечивающей движение груза в нижней точке траектории. Найдите аналитическое выражение этой силы (учебник, лекции).

217.Стальная проволока диаметром 1 мм имеет длину 5 м, когда на ней висит груз весом 196 Н. На сколько удлинится проволока, если вес груза увеличить на 98 Н? Сделайте чертёж, лучше два. Запишите условие равновесия с учётом данных в задаче.

218.К железной проволоке длиной 50 см и диаметром 1 мм привязана гиря массой 1 кг. С какой угловой скоростью можно равномерно вращать в вертикальной плоскости такую проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась? Сделайте чертёж, возможно два, чтобы осознать, где будет максимальное воздействие проволоки для обеспечения вращательного движения. Запишите условие равновесия. Зависимость упругой силы от деформации найдите в записях, учебнике.

219.Найти относительное изменение плотности цилиндрического медного стержня при сжатии его давлением 10⁸ Па. Коэффициент Пуассона для меди принять равным 0,34. Сделайте чертёж, что поможет в аналитических преобразованиях. Запишите силу упругости через: относительное удлинение, характеристику упругих свойств и площадь сжимаемого цилиндра. Запишите коэффициент Пуассона. Если к этим двум уравнениям прибавить уравнение относительного изменения плотности, получим систему, позволяющую подойти к решению поставленного вопроса. Дело за преобразованиями. Не забывайте бесконечно малые второго порядка и данные задачи. Удачи. Трудно? Приходите.

220.К резиновому шнуру длиною 40 см и радиусом 1 мм подвешена гиря массой 0,05 кг. Зная, что модуль Юнга этой резины равен 3 Н/мм², найти период вертикальных колебаний гири. Сделайте чертёж, установите, от чего зависит период колебаний. Придётся обратиться к упругим свойствам резины, от чего и как зависит её сила упругости.

221.Ареометр плавает в жидкости. Вычислить коэффициент жёсткости воды, если период малых колебаний ареометра, которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении, равен 2,5 с. Масса ареометра 50 г, радиус его трубки 3,2 мм, плотность жидкости 1 г/см³. Сопротивление жидкости пренебрежимо мало. Сделайте чертёж, как в состоянии равновесия ареометра, так и после сообщения ему толчка. Найдите формулу периода малых колебаний ареометра. Запишите условие равновесия, что поможет записать состояние нарушения равновесия и выйти на искомую величину. Удачи. Если трудно, приходите.

222.Тело массой 0,5 кг подвешено на резиновом шнуре и совершает гармонические колебания. Найдите модуль Юнга резины, если её коэффициент упругости 50 Н/м. Длина шнура 1 м, его диаметр 1 см. Какова энергия колебаний тела? Сделайте чертёж. Найдите аналитическое выражение для силы упругости. Преобразуйте, должно получиться.

223.Найти длину медной проволоки, которая, будучи подвешена вертикально, начинает рваться под действием собственного веса. Сделайте чертёж, уточните, что означает слово «рваться». Где, в какой части проволоки, это может, скорее всего, реализоваться. Ищите аналитическое выражение для силы упругости. Не забудьте, медь обладает пределом прочности на разрыв.

224.Верхний конец свинцовой проволоки диаметром d = 2 см и длиной ℓ = 60 м закреплен неподвижно. К нижнему концу подвешен груз массой m = 100 кг. Найти напряжение материала на середине длины. Сделайте чертёж, уточните, какие силы определяют напряжение проволоки. Найдите аналитическое выражение для силы упругости. Преобразуйте.

225.Однородный стержень равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Стержень разрывается, когда линейная скорость конца стержня достигает 380 м/сек. Найти предел прочности материала стержня. Плотность материала стержня равна 7900 кг/м³. Сделайте чертёж, уточните слово «разрывается», где разрыв может произойти. Найдите аналитическое выражение для упругой силы. Не забудьте, система неинерциальная. Это позволит выявить причину возникновения силы упругости.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: