Гармонические колебания: кинематика, динамика, маятники

126.Некоторая точка движется вдоль оси Х по закону х = А×sin²(w×t - π/4). Найти амплитуду и период колебаний; изобразить график х(t). Данное в условии задачи уравнение необходимо привести к каноническому (простейшему) виду. Воспользуйтесь тригонометрическими преобразованиями. Построение графика стандартно.

127.Обруч диаметром 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период этих колебаний. Сделайте чертёж. Найдите уравнение, отражающее период колебаний твёрдого тела. Уточните, как вычисляется момент инерции обруча, куда приложена к обручу возвращающая сила.

128.Некоторая точка движется вдоль оси Х по закону х = А×sin²(w×t - π/4). Найти проекцию скорости υ_х как функцию координаты х; изобразить график υ_х(х). Данное в условии задачи уравнение необходимо привести к каноническому (простейшему) виду. Воспользуйтесь тригонометрическими преобразованиями. Не забудьте, как связана скорость с перемещением. Построение графика стандартно.

129.Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания l = 1,6. Начальная фаза равна нулю. Смещение точки из положения равновесия в момент времени t = T/4 равно 4,5 см. Написать уравнение этого колебания х(t). Найдите уравнение динамики затухающих колебаний (учебник, записи лекций). Уточните закон, по которому осуществляются затухающие колебания, смысл понятия «логарифмический декремент» затухания. Смещение в момент времени Т/4 позволяет найти максимальное отклонение от положения равновесия.

130.Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями х = 2×sin(ω×t);у = – соs(ω×t) (смещения даны в сантиметрах). Найти уравнение траектории точки и построить ее на чертеже. Показать направление движения точки. Определить скорость и ускорение точки в момент t = 0,5 с. Уточните понятие «уравнение траектории». Придётся преобразовать систему уравнений к каноническому виду у(х). Построение графика стандартно. При нахождении кинематических характеристик скорости и ускорения уточните их связь с координатой.

131.Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где её потенциальная энергия зависит от координаты x как U(x) = U_o×(1 –соs(α×х)), гдеU_o и α – некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия. Зависимость потенциальной энергии от координаты определяется законом изменения силы, что позволяет найти зтот закон. Учтите, период колебаний определяется не только мерой инертности частицы, но и жёсткостью поля.

132.Математический маятник массой 100 г совершает гармонические колебания по закону x = 0,25×sin(2p×t)(смещение из положения равновесия – в метрах, время – в секундах). Определить натяжение нити в момент времени t = T/2. Сделайте чертёж с учётом данных задачи. Воспользуйтесь уравнением динамики поступательного движения.

133.Вычислить период малых колебаний ареометра, которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра m = 50 г, радиус его трубки r = 3,2 мм, плотность жидкости ρ = 1 г/см³. Сопротивление жидкости отсутствует. Жидкость проявляет упругие свойства, можно определить коэффициент жёсткости воды. Период колебаний определяется как мерой инертности ареометра, так и жёсткостью воды.

134.Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: x = 0,05×sin(2×t) (смещение из положения равновесия – в метрах, время – в секундах). В момент, когда на точку действовала возвращающая сила 5 мН, точка обладала потенциальной энергией 0,1 мДж. Найти фазу колебаний в этот момент времени. Сделайте чертёж с учётом данных задачи. Воспользуйтесь понятиями силы и энергии. Учтите, это применяется для колебательного движения. Для нахождения скорости и ускорения уточните их связь с координатой.

135.Груз массой m подвешен к системе двух последовательно соединенных пружин жесткостями k₁ и k₂. Система выведена из состояния равновесия и предоставлена сама себе. Энергия, сообщённая системе, равна W. Написать уравнение колебаний, определить амплитуду и частоту колебаний. Сопротивление не учитывать. Сделайте чертёж. Из условия равновесия выразите коэффициент жёсткости системы k, что позволит найти максимальную деформацию системы. Период колебаний определяется как мерой инертности системы, так и её жёсткостью.

136.Амплитуда колебаний материальной точки массой 3 г равна 15 см, круговая частота 10 рад/с. Определить максимальную величину возвращающей силы и максимальную кинетическую энергию точки. Сделайте чертёж. Запишите закон, по которому совершаются гармонические колебания, и выражения для определяемых величин. Уточните, каких величин не хватает, из каких уравнений и с помощью каких математических действий их можно выразить. Удачи.

137.Тело движется под действием силы F = f×cos(ω×t) по закону x = С×sin(ω×t) (f = 2 Н, С = 10 см, ω = π/3 рад/с). Найти работу силы и её среднюю мощность за время t = Т. Запишите выражение для элементарной работы. Придётся продифференцировать x, чтобы найти элементарное перемещение. Далее идёт интегрирование, будьте внимательны. Уточните понятие «мощность». Действуйте.

138. Груз массой 500 г, подвешенный на пружине, коэффициент жесткости которой 50 Н/м, помещен в масло. Коэффициент сопротивления в масле r =0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F ~ sin(w×t) (сила– в ньютонах, время – в секундах). При какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний будет максимальна? Условие тяжело удерживается в голове? Не отчаивайтесь. В записях или в книге найдите вынужденные колебания. Отыщите уравнение динамики вынужденных колебаний. Разберитесь в символах, что они отображают. Найдите уравнение, отражающее амплитуду вынужденных колебаний. Осталось разобраться с условием максимума для этого уравнения. Дерзайте.

139.На горизонтальнойплоскостискоэффициентомтрения µ = 0,1лежитбрусок массыm =0,5 кг,соединенный горизонтальной недеформированной пружинкойсостенкой.Жесткостьпружинки k = 2,45 Н/см,а её масса пренебрежимо мала.Брусок сместили так, что пружинка растянулась на х_о = 3 см,азатемотпустили. Найти число колебаний, которое совершит брусок до остановки. Сделайте чертёж(и). Учтите, совершается колебательный процесс при наличии силы трения. Напрашивается закон сохранения энергии, лучше к каждой четверти периода. Далее придётся думать, как из этой системы получить уравнение, отражающее условие задачи.

140.Под действием силы F = А×cos(ω×t) (A = 2 Н, ω = π/3 рад/с) движется тело массой 100 г. Начальная скорость тела равна нулю. Найти зависимость кинетической энергии тела от времени. Привести её к каноническому (простейшему) виду. Определить максимальное значение энергии. Придётся уточнить понятие силы и найти закон изменения ускорения. Как оно связано со скоростью движения тела? Не избежать интегрирования, не забудьте учесть начальные условия. Как определяется кинетическая энергия? Уравнение скорости уже есть.

141. Однородный диск радиуса R = 13 см может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через край диска. Найти период малых колебаний этого диска, если логарифмический декремент затухания l = 1. Сделайте чертёж(и). Нашли уравнение для периода затухающих колебаний физического тела? Уточнили, где проходит ось вращения и как вычислить момент инерции. Не забудьте учесть связь коэффициента затухания с логарифмическим декрементом затухания. Кстати, в этой связке опять появится искомый период затухания. Внимательнее в преобразованиях.

142.Записать уравнение гармонических колебаний частицы, если на расстояниях х₁ и х₂ от положения равновесия её скорость равна υ₁ и υ₂. Уравнение гармонических колебаний можно найти в книге (лекции). Остаётся заняться поиском амплитуды и круговой частоты колебания. Придётся записать уравнения координаты и скорости для указанных значений. Не забудьте, моменты времени у соответствующей координаты и скорости одинаковы. Остаётся решить две системы уравнений относительно искомых величин. Внимательнее в преобразованиях.

143.Определить период малых колебаний шарика, подвешенного на нерастяжимой нити длины ℓ = 20 см, если он находится в идеальной жидкости, плотность которой в η = 3 раза меньше плотности шарика. Сделали чертёж? Определились в силах, действующих на шарик? Равнодействующую нашли? А уравнение периода колебаний материальной точки нашли (учебник, лекции)? Ускорение создаваемой равнодействующей силой поддаётся нахождению? Тогда всё за преобразованиями.

144.Затухающие колебания точки происходят по закону х = а_о×е^-β×t×sin(w×t). Найти моменты времени, когда точка достигнет крайних положений. Придётся вспомнить условие максимума из математики. Заглянули в учебник (лекции) по математике? Будьте внимательны в производной. Вспомните обратные тригонометрические функции. Точно помогут.

145.Найти период малых поперечных колебаний шарика массы m =40 г, укреплённого на середине натянутой струны длины ℓ = 1 м. Силу натяжения струны считать постоянной и равной F = 10 Н. Массой струны и силами тяжести пренебречь. Сделайте чертёж. Представьте на нём силы, с учётом условия задачи. Уравнение периода колебаний материальной точки зависит лишь от параметров колебательной системы, но не зависит от пространственного расположения системы. Нашли (учебник, лекции)? Учтите, шарик расположен посередине, сила постоянна. Удачи в преобразованиях.

146.Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с амплитудой х_о = 10 см. Найти коэффициент трения между доской и бруском, если последний начинает скользить по доске, когда её период колебания меньше Т = 1 с. Сделайте чертёж. Уточните в кинематике колебательного процесса функциональную зависимость ускорения от времени. Определитесь, почему начинается скольжение.

147.Тело совершает крутильные колебания по закону j = j_о×е^-β×t×cos(w×t). Найти моменты времени когда, угловая скорость максимальна. Придётся вспомнить из физики понятие «угловая скорость» и условие максимума из математики. Заглянули в учебники (лекции) по физике, математике? Будьте внимательны в производных. Точно помогут, если удачно учтёте момент времени.

148.К пружинке подвесили грузик, и она растянулась на Dх = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания l = 3,1. Колебательный процесс совершается при наличии сил трения, загляните в курс физики (записи) и уточните, от чего зависит период затухающих колебаний. Будьте внимательны в преобразованиях.

149.Осциллятор массы m, движется по закону х= а×sin(w×t) под действием постоянной силы F = F_о×sin(w×t). Найти коэффициент затухания β осциллятора. Найдите уравнение вынужденных колебаний (учебник, записи). Уточните понятие «гармонический осциллятор», аналитическое выражение для силы сопротивления. Каково её соотношение с действующей постоянной силой? Преобразуйте с учётом данных. Удачи.

150.Под действием момента сил М = М_о×cos(w×t) тело совершает вынужденные крутильные колебания по закону j = j_о×cos(w×t – a). Найти работу сил трения, действующих на тело, за период колебания. Уточните аналитическое выражение для элементарной работы при вращательном движении. Придётся интегрировать, аккуратнее в преобразованиях.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: