Тема: Законы сохранения в механике
№1
Шар массы m1, движущийся со скоростью , налетает на покоящийся шар массы m2 (рис. 1).
Могут ли после соударения скорости шаров, и , иметь направления, показанные на рис. 2 (а и б)?
могут в случае б
могут в случае а
могут в обоих случаях
не могут ни в одном из указанных случаев
№2
Диск и обруч, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания с одинаковыми скоростями на горку. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение высот ,, на которые смогут подняться эти тела, равно …
3/4
7/10
14/15
Решение:
В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому , или , где J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, – угловая скорость вращения вокруг этой оси, h – высота, на которую сможет подняться тело. Отсюда с учетом того, что , получаем: . Моменты инерции диска (сплошного цилиндра) и обруча (полого цилиндра) равны соответственно и . Тогда искомое отношение высот .
№3
График зависимости кинетической энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от высоты подъема имеет вид, показанный на рисунке …
Решение: Из закона сохранения механической энергии . Отсюда
, то есть зависимость Ek (h) – линейная, причем, если h =0,
; если же h=hmax , . Поэтому график зависимости кинетической энергии от высоты подъема тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, имеет вид: №4
Тело массы m, прикрепленное к пружине с жесткостью k, может без трения двигаться по горизонтальной поверхности (пружинный маятник). График зависимости кинетической энергии тела от величины его смещения из положения равновесия имеет вид, показанный на рисунке …
Решение: По условию задачи трение отсутствует. Следовательно, в системе выполняется закон сохранения механической энергии: , где А – амплитуда колебаний. Отсюда . Это уравнение параболы со смещенной вершиной; ветви параболы направлены вниз. Поэтому график зависимости кинетической энергии тела от величины его смещения из положения равновесия имеет вид:
№5
Фигурист вращается вокруг вертикальной оси с определенной частотой. Если он прижмет руки к груди, уменьшив тем самым свой момент инерции относительно оси вращения в 2 раза, то …
частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия вращения возрастут в 2 раза
частота вращения фигуриста возрастет в 2 раза, а его кинетическая энергия вращения – в 4 раза
частота вращения фигуриста уменьшится в 2 раза, а его кинетическая энергия вращения – в 4 раза
частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия вращения уменьшатся в 2 раза
Решение: Согласно закону сохранения момента импульса . Здесь J – момент инерции фигуриста относительно оси вращения, ω – угловая скорость его вращения вокруг этой оси. Отсюда с учетом того, что ω=2πn , где n – частота вращения, . Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна: . Тогда . Таким образом, частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия возрастут в 2 раза.
№6Шар и полная сфера, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкладываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости этих тел одинаковы, то …
Решение:
Воспользуемся законом сохраненья механической энергии. Полная энергия тел не изменяется, поэтому . Здесь 1 и 2 –состояния системы, , и кинематическая энергия плоского движения твердого тела равна сумме кинематической энергии поступательного движения и кинематической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс: . В последней формуле - момент инерции тела относительно оси, В последней формуле – момент инерции тела относительно оси, проходящий через его центр масс ; –скорость его центра масс. Из условия отсутствия проскальзывания следует, что мгновенные скорости точек касания тела о горку равны нулю, то есть угловая скорость .В нашем случае, энергии тела в первом и во втором состояниях равны: , Из закона сохранения энергии следует .
Анализируя последнюю формулу, видим, что при равенстве масс, скоростей радиусов однородного шара и полой сферы . Сравним моменты инерции тел, обозначив их у шара , у полой сферы - . Момент инерции –величина, характеризующая распределение массы тела относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Вся масса полой сферы находится на расстоянии от оси вращения, а у шара распределена равномерно вдоль радиуса сферы. Тогда , следовательно, . Значит, полая сфера поднимается на горку выше, чем однородный шар.
Оба тела поднимутся на одну и ту же высоту
Высоту подъема тел невозможно определить
ü Выше поднимается полая сфера
Выше поднимается шар
№7
В случае действия на тело центральной силы радиус-вектор, проведенный к нему из центра, описывает в равные промежутки времени равные площади. (В этом, собственно, и состоит по отношению к движению планет второй закон Кеплера.) Если в начальный момент расстояние от планеты до Солнца r , скорость v, угол между скоростью планеты и радиус-вектором r равен α, то за время t радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, опишет площадь …
РЕШЕНИЕ
Закон равных площадей или 2-й закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса для движения в центральном поле.
Выразим момент импульса тела через заданные параметры начального положения: . Из закона сохранения момента импульса следует, что величина , т.е. должна оставаться постоянной в процессе движения. Площадь, описываемая радиус-вектором за бесконечно малый промежуток времени будет равна площади треугольника с гипотенузой r, катетами , т.е. . Следовательно, за время t радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, опишет площадь
№8
Шар и полная сфера, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкладываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости этих тел одинаковы, то …
Решение:
Воспользуемся законом сохраненья механической энергии. Полная энергия тел не изменяется, поэтому
. Здесь 1 и 2 –состояния системы, , и кинематическая энергия плоского движения твердого тела равна сумме кинематической энергии поступательного движения и кинематической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс: . В последней формуле - момент инерции тела относительно оси, В последней формуле – момент инерции тела относительно оси, проходящий через его центр масс ; –скорость его центра масс. Из условия отсутствия проскальзывания следует, что мгновенные скорости точек касания тела о горку равны нулю, то есть угловая скорость .В нашем случае, энергии тела в первом и во втором состояниях равны: , Из закона сохранения энергии следует .
Анализируя последнюю формулу, видим, что при равенстве масс, скоростей радиусов однородного шара и полой сферы . Сравним моменты инерции тел, обозначив их у шара , у полой сферы - . Момент инерции –величина, характеризующая распределение массы тела относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Вся масса полой сферы находится на расстоянии от оси вращения, а у шара распределена равномерно вдоль радиуса сферы. Тогда , следовательно, . Значит, полая сфера поднимается на горку выше, чем однородный шар.
Оба тела поднимутся на одну и ту же высоту
Высоту подъема тел невозможно определить
ü Выше поднимается полая сфера
Выше поднимается шар
№9
Находясь на расстоянии r .
Для расчета минимального прицельного расстояния OB, при котором метеорит не упадет на поверхность Луны, используют законы сохранения механической энергии и момента импульса.Выберите из предложенных вариантов верную запись этих законов. Радиус R и массу M планеты Луна, гравитационную постоянную G ,скорость метеорита вблизи поверхности Луны 𝞾 считать известными.
Решение:
Метеорит массой m должен двигаться по гиперболической орбите,касающейся поверхности Луны в точке C.
При движении по этой траектории выполняется закон сохранения механической энергии:
-скорость метеорита вблизи Луны.Действительно,метеорит приближается к Луне под действием силы тяготения.работа этой силы является мерой увеличения кинетической энергии метеорита (скорость метеорита увеличивается 𝞾 )и одновременно мерой уменьшения его потенциальной энергии от 0 в точке А до в точке С.Луна из-за большой массы в процессе взаимодействия будет оставаться
В покое ,а вследствие равенства нулю момента силы притяжения относительно центра Луны момент импульса метеорита относительно центра Луны будет сохраняться :
,m .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|