Производная функции, заданной параметрически

Часто применяется способ задания функции, при котором текущие координаты являются функцией третьей переменной величины, параметра t:

, такой способ задания называется параметрическим.

перейдем к пределу: Получаем:

.

Пример:

Найти у^/.

x^/_t = 2а sint×cost; y^/_t = -3а cos²t×sint, тогда у^/ = = -1,5cost.

Лекция № 7

Дифференциал функции

Понятие дифференциала

Пусть функция имеет в точке х отличную от нуля производную . Тогда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, приращение функции можно записать:>

Где - постоянная, не зависящая от , - б.м. более высокого порядка малости, чем . Дифференциалом функции y=f(x) в точке называется главная часть приращения функции, линейная относительно ,

Обозначается: , или

Дифференциал dy называется также дифференциалом первого порядка .

Найдем дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции y=x. Так как , то , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной .

Теорема Если функция имеет дифференциал в точке , то функция имеет производную в этой точке и обратно.

Доказательство:

1) Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х, т.е. разделив это равенство на и взяв предел при получим:

т.е. функция имеет производную в точке х.

Обратно:

2)Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х, т.е. , - б.м. при

, где - б.м. более высокого порядка, т.е. функция имеет дифференциал в точке х.

Геометрический смысл дифференциала

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведём к графику функции y=f(x) в точке M(x;y) касательную MT и рассмотрим ординату этой касательной для точки (см. рис.). На рисунке Из прямоугольного треугольника MAB имеем:

т.е.

Но, согласно геометрическому смыслу производной, Поэтому

Сравнивая полученный результат с формулой получаем т. е. дифференциал функции y=f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной графику функции в этой точке, когда x получит приращение .

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Т.к. , где - б.м.

То

Используя это равенство можно оценивать приближенное значение функции вблизи точек, в которых известно точное значение функций.

Свойства дифференциала функции

Производная как отношение дифференциалов. Пусть , тогда , тогда , т.е. производная равна отношению дифференциалов.

1.

2.

3. , тогда

4. ,

5.

Дифференциал сложной функции

Теорема: Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента (если обе функции дифференцируемы)

Доказательство:

, пусть ,

По правилу диф. сложной функции:

. Умножим на обе части:

Замечание: здесь - функция, а - независимая переменная. Отсюда следует свойство инвариантности дифференциала: Дифференциал равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, является ли аргумент независимой переменной или функцией.

Таблица дифференциалов

, если y=f(x)	если
	, n≠-1

Производные и дифференциалы высших порядков

Определение. Второй производной, или производной второго порядка, называется производная от первой производной. Обозначается . Для обозначения второй производной используются символы:

Определение. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала.

, т.к. , то - постоянная по отношению к .

, т.е.

Замечание: Дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают.

Лекция №8

Теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение

Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)= f(b), то найдётся, хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, M и m.

Если m=M, то функция f(x) постоянна на и, следовательно, её производная в любой точке отрезка .

Если , то функция достигает, хотя бы одно из значений M или m во внутренней точке с интервала , т. к. f(a)= f(b).

Пусть, например, функция принимает значение M в точке , т. е. f(c)=M. Тогда для всех выполняется соотношение

Найдём производную в точке

В силу условия верно неравенство . Если (т. е. справа от точки x=c), то и поэтому

Если, то и

Таким образом,

В случае, когда f(c)=m, доказательство аналогичное. Ч.т.д.

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции y=f(x) найдётся точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ox (см. рис.1 и 2). На рис. 3 таких точек две.

Теорема Коши

Если функции f(x) и j(x)непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причём для , то найдётся хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

.

Доказательство. Отметим, что , т. к. в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка c, такая, что , чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , т. к. является линейной комбинацией функций f(x) и j(x); на концах отрезка она принимает одинаковые значения .

На основании теоремы Ролля найдётся точка такая, что . Но , следовательно,

Отсюда следует

и Ч.т.д.

Теорема Лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдётся хотя бы одна точка , такая, что выполняется равенство:

Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив j(x)= x, находим

Подставляя эти значения в формулу , получаем или Ч.т.д.

Замечание: Полученную формулу

Называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении:

Приращение дифференцируемой функции на отрезке [a,b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка

Следствие 1 :Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Следствие 2: Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Правило Лопиталя

Данное правило помогает раскрыть неопределенности вида и при вычислении пределов.

Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида

Пусть функции f(x) и j(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ и обращаются в нуль в этой точке: f(x₀) = j(x₀) = 0. Пусть в окрестности точки x₀. Если существует предел , то

Доказательство. Возьмем точку х, принадлежащую окрестности точки x₀ Применим к функциям f(x) и j(x) теорему Коши на отрезке [x₀;x]. Тогда где с лежит между x₀ и x (см. рис.).

Учитывая, что f(x₀) = j(x₀) = 0, получаем

При величина с также стремится к x₀; перейдём к пределу:

Так как . Поэтому

Ч.т.д.

8.5. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида

Пусть f(x) и g(х) – функции, непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х₀, за исключением быть может самой точки х₀, и при х®х₀ обе эти функции стремятся к бесконечности. Тогда если существует предел при х®х₀, то существует и предел отношения самих функций, причем, они равны, т.е.

= .

Замечания:

1) теорема остается справедливой и в том случае, если х ® ±¥ или х®х₀±0;

2) если опять дает неопределенность вида или , то правило Лопиталя следует применить еще раз.

Примеры:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: