Функция, имеющая производную в каждой точке интервала, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Определение: Закон, по которому каждой точке ставится в соответствие производная в этой точке, называется производной функции на множестве (a,b).

Доказательство: Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x. Следовательно, существует предел

Отсюда, по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции, имеем: где при т.е.

Переходя к пределу, при получаем А это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x, ч.т.д.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция

Изображённая на рисунке функция не прерывна в точке x=0, но не дифференцируема в ней.

Геометрический смысл производной

Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей MN, проходящей через точку М, когда вторая точка секущей N, неограниченно приближается по кривой к точке М.

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x). Пусть в точке функция имеет невертикальную касательную (предельное положение секущей). Найдем угловой коэффициент секущей k=tg , где - угол наклона касательной к оси ОХ. Угловой коэффициент секущей

При стремящемся к нулю, .

- угловой коэффициент касательной.

Если функция y=f(x) имеет невертикальную касательную в точке , то в этой точке существует производная , равная тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке к оси .

Справедливо и обратное утверждение:

Если функция имеет производную в точке , то график функции имеет невертикальную касательную, тангенс угла наклона которой к равен .

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , имеет вид: .

Нормаль-это прямая, проходящая через точку касания и перпендикулярная касательной.

Уравнение нормали: .

Пример:

Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой у = 2 в точке с абсциссой х₀ = .

Решение:

1. у^/ = ((3-х²)/2)^/ = = - .

2. у^/(х₀) = у^/( ) = - 2.

3. у(х₀) = у( ) = .

4. Тогда уравнения касательной и нормали имеют вид:

у - = - 2(х - ) Þ 2х + у - 3 = 0 – искомое уравнение касательной;

у - = (х - ) Þ х – 2у + = 0 – искомое уравнение нормали.

Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной величины равна .

Доказательство:

Дадим приращение , .

.

Производная суммы двух функций равна сумме производных.

.

Доказательство:

, если и - дифференцируемые функции, то их алгебраическая сумма дифференцируема.

.

По определению производной:

.

3. Производная произведения двух функций:

.

Пример: Найти производную функции:

у = соsx×ln²x.

y^/ = (cosx)^/ ln²x + cosx (ln²x)^/ = - sinx ln²x + cosx×2lnx×(lnx)^/ =

- sinx×ln²x +cosx×2lnx×( ).

4. Производная частного:

Таблица производных

	(Un)| = n Un-1 U/
(au)/ = au ×ln a× U/	(eu)/ = eu × U/
(sin U)/ = cos U × U/	(cos U)/ = -sin U× U/
(tg U)/ =	(ctg U)/ =
(arcsin U)/ =	(arcos U)/ =
(arctg U)/ =	(arcctg U)/ =
(log a U)/ =	(lnU)/ =

Производная обратной функции

Если дифференцируемая функция с отличной от нуля производной, то производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции:

Доказательство:

- соответствующее приращение обратной функции .

(в силу непрерывности обратной функции при )

.

Производная неявно заданной функции

Если функция задана неявно , следует продифференцировать обе части тождества, применяя правило дифференцирования сложной функции (помня, что - функция от ).

Производная показательно- степенной функции

Пусть ,

Прологарифмируем обе части:

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: