Основные элементарные функции и их области определения

Лекция № 1

Функция, ее свойства , способы задания

1.1. Некоторые простейшие логические символы:

– означает «из предложения следует предложение »;

– «предложения равносильны», т.е. из следует , из следует ;

- означает «для любого», «для всякого»;

- «существует», «найдется»;

: - «имеет место»;

Числовые промежутки, окрестность точки

Напомним, что между точками числовой оси и множествам - действительных чисел, существует взаимно- однозначное соответствие, поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка», а подмножества действительных чисел называют числовыми промежутками, или интервалами. Наиболее часто эти множества представляют собой:

1) интервал , т.е.

2) отрезок (сегмент) , т.е.

3) полуинтервал, закрытый слева ,

4) полуинтервал, закрытый справа

Эти множества будем обозначать и называть промежутками.

5) полуось, ;

Любой интервал, содержащий точку , называется окрестностью точки .

Часто рассматривают окрестности, симметричные относительно .

Опр: Интервал вида называется - окрестностью точки . Если , то выполняется неравенство , или, что то же самое . Обозначается - окрестность точки .

Если из этого интервала выколоть точку , то окрестность называется проколотой - окрестностью точки .

1.3. Функции, способы задания, свойства

Изучая явления, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные или функции).

Определение: Переменная величина y называется функцией (однозначной) от переменной x, если они связаны между собой так, что каждому значению величины x из некоторого множества соответствует единственное вполне определенное значение величины y из множества . Записывается этот факт :

Область определения функции f обозначается D(f), множество значений: E(f).

Способы задания функции:

Табличный, когда значения аргумента и соответствующие значения функции заданы таблицей.

2.Графический, когда соответствие аргумента и функции даны в виде графика;

Аналитический, когда зависимость дана в виде формулы.

1.4. Основные свойства функции:

Определение: Функция у=f(х) называется четной, если для любого значения х и –х, взятых из области определения функции, выполняется равенство f(-x)=f(x).

Из определения следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат(Оу).

Примеры четных функций: y= , y=cos(x), y=x sin(x), y=ln , и т.д.

Определение: Функция у=f(х) называется нечетной, если для любого значения х и –х, взятых из области определения функции, выполняется равенство f(-x)= -f(x).

Из определения следует, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Примеры нечетных функций: y= , y=sin(x), y=x cos(x), y=tg(x), и т.д.

Определение: Функция у=f(х) называется периодической, если существует такое число Т>0, что f(x+T)=f(x) для всех х D(f). Наименьшее число Т, если такое существует, называется периодом функции.

Определение: Функция у=f(x) называется возрастающей на промежутке (а; b), если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее значение функции.

Т.е. если для любых (а;b), из условия

.

Определение: Функция у=f(x) называется убывающей на промежутке (а; b), если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует меньшее значение функции. Т.е. если из .

Основные элементарные функции и их области определения

1. Функция определена на общей области определения функций f(x) и g(x), при условии, что g(x)≠0.

2. Степенная функция у=хⁿ с рациональным положительным показателем при нечетном определена на всей числовой оси, а при четном определена на интервале ;∞), (т.е. для функции , f(x)≥0).

3. Показательная функция, , a>0, a≠1, определена на всей числовой оси. При a>1 функция возрастающая, при а<1 функция убывающая.

4. Логарифмическая функция у= , а>0, а≠1, определена на интервале (0;∞). При a>1 функция возрастающая, при а<1 функция убывающая.

5. Тригонометрические функции y=sinx , y=cosx определены на всей числовой оси;

y=sinx y=cosx

y=tgx определена на всей числовой оси, исключая точки х= ;

у=ctgx определена на всей числовой оси, исключая точки х= .

6. Обратные тригонометрические функции

y=arccosx и y=arcsinx определены на отрезке [-1;1] ;

y=arctgx и y=arcctgx определены на всей числовой оси.

Сложная функция

Пусть задана функция c множеством определения и множеством значений , и функция y=f(u), областью определения которой является , а множеством значений E(f). Тогда на множестве определена сложная функция (или суперпозиция функций, или функция от функции) с множеством значений E(f). Записывается сложная функция . Переменная называется промежуточным (или внутренним) аргументом функции.

Например: - синус квадрата.

Обратная функция

Пусть задана функция y=f(x) c областью определения D(f), множеством значений E(f). Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена обратная функция (которая иногда обозначается ) с областью определения E и множеством значений D. Про такие функции y=f(x) и говорят, что они взаимно обратные. Для того, чтобы найти функцию , достаточно разрешить уравнение y=f(x) относительно переменной x.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: