Решение. По правилу нахождения предела многочлена находим
Пример 2: Вычислить .
Решение. Так как при знаменатель дроби отличен от нуля, то по правилу нахождения предела дробно-рациональной функции получим
Пример 3: Вычислить .
Решение. Предел делителя равен нулю: Следовательно, теорему о пределе применять нельзя.
Так как то при есть бесконечно малая, а обратная ей величина — бесконечно большая. Поэтому при произведение есть величина бесконечно большая, т.е.
Пример 4: Вычислить
Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при получается отношение двух бесконечно малых величин.
Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и следовательно, сделать возможным применение теоремы III. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо, По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения; поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем:
Пример 5: Вычислить .
Решение. Пределы числителя и знаменателя при равны нулю:
Разложим квадратный трёхчлен в числителе на линейные множители по формуле где и — корни трёхчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на . Используя следствие 4, получим
Пример 6: Вычислить
Решение. Пределы числителя и знаменателя при , равны нулю:
Разложив числитель и знаменатель на множители и сократив затем на получим
Пример 7: Вычислить
Решение. Очевидно, что при функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин. Выполнив вычитание дробей, получим дробь, числитель и знаменатель которой при стремятся к нулю. Сократив дробь на , получим
Пример 8: Вычислить .
Решение. Вынося за скобки, получим
(при величины — бесконечно малые и их пределы равны нулю).
Пример 9: Вычислить
Решение. При знаменатель неограниченно растёт, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина – бесконечно малой. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину (постоянная—частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая, и предел её при равен нулю. Следовательно,
Пример 10: Вычислить
Решение. При числитель и знаменатель—величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы III получаем выражение которое представляет собой неопределённость. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на :
(при слагаемые — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).
Пример 11: Вычислить
Решение. Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на :
После сокращения в числители величина ограниченная, в знаменателе величина бесконечно малая, следовательно, пределом является величина бесконечно большая.
Пример 12: Вычислить .
Решение. При данная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин . Умножив и разделив функцию на выражение получим
Лекция № 4
Первый и второй замечательные пределы
Теорема (первый замечательный предел)
Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к длине дуги равен единице.
Доказательство:
Возьмем круг радиуса 1. Обозначим радианную меру угла АОС через х.
Рассмотрим: 1)Пусть ; можно считать, что , т.к. ; ;
, площадь сектора
разделим это неравенство на 1/2sinx>0
Т.к. то по теореме о 2-х милиционерах .
2) пусть , тогда при .
Замечание1:
Замечание 2: действительно, при
Замечание 3:
Покажем это: , тогда получим
, но так как , то .
Примеры
Вычислить следующие пределы:
1. .
Решение. Очевидно, что при x→π/2 числитель и знаменатель дроби стремиться к нулю. Разложив числитель и знаменатель на множители и сократив дробь на получим
2.
Решение. Преобразуя заданное выражение и используя первый замечательный предел, получим
3.
Решение. Имеем
4.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2025 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|