Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение: Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и .

При этом:

1) если А₁=А₂ , и f(x) , то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

2) если , то х₀ называется точкой конечного разрыва, а величину называют скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Пример1:

Исследовать функцию на непрерывность в точке х=2.

Решение:

В точке х=2 функция не определена.

Предел слева:

Предел справа:

В точке х=2 функция имеет разрыв второго рода.

Пример2:

Дана функция . Найти точки разрыва, определить их тип.

Решение:

Функция f(x)определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х=3.

Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1: Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная(для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю)

Теорема 2: Если функция непрерывна в точке , а функция y=f(u) непрерывна в точке Тогда сложная функция

непрерывна в точке .

Теорема 3: Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезкеr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> оси ОХ, то обратная ей функция также монотонна и непрерывна на соответствующем отрезке оси ОУ.

Замечание 1: Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях переменной х, при которых они определены.

Замечание 2: Функция, полученная из элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций (операция взятия функции от функции) непрерывна при тех значениях аргумента, при которых она определена.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1(Вейерштрасса): Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Изображенная на рисунке функция принимает свое наибольшее значение М в точке , а наименьшее значение m в точке . Для любого значения имеет место неравенство: .

Теорема 2( Больцано- Коши): Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения f(a)=A, и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между А и В.

Следствие: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль : f( c)=0.

Данное утверждение лежит в основе метода «половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения f(x)=0.

Метод половинного деления:

Для решения уравнения f(x)=0 с заданной точностью , необходимо :

1. Подобрать отрезок , такой, что на этом отрезке функция непрерывна и f(a) f(b)<0.

2. Вычислить

3. Если f(x)=0, то х- корень уравнения

4. Если , то если f(a) , то b=x , иначе a=x

5. Если , то х найден, иначе идти на пункт 2.

Лекция № 6

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Понятие производной

Задача, приводящая к понятию производной:

Пусть материальная точка движется по закону . Пусть - путь, пройденный точкой к моменту времени . За время материальная точка прошла путь . Тогда средняя скорость точки за время равна . При получим мгновенную скорость точки в момент , т.е. .

Понятие производной

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки . Дадим аргументу приращение , тогда функция получит приращение .

Отношение показывает среднюю скорость изменения функции относительно аргумента на промежутке .

Определение: Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , то этот предел называется производной функции в точке и обозначается

Для обозначения производной в точке применяются следующие обозначения:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: