Строго монотонная функция имеет обратную, причем если сама функция возрастает ( убывает), то и обратная так же возрастает( убывает).

Графики функций y=f(x) и изображаются одной и той же кривой. Если же в обратной функции независимую переменную назвать х , а зависимую у, то графики двух взаимно обратных функций y=f(x) и симметричны относительно биссектрисы 1-3 координатных углов.

Пример: Графики двух взаимно- обратных функций

-синий и - зеленый.

Неявная функция

Функция называется явной, если она задана формулой .

Функция называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно . Любую явно заданную функцию y=f(x) можно представить в неявном виде: y-f(x)=0 , однако не всегда неявно заданную функцию можно представить в явном виде.

Пример неявно заданной функции: .

Примеры:

1. Найти область определения функции:

2. Найти множество значений функции:

3. Писать четные функции из данных:

4. Выписать периодические функции:

5. Даны две функции: составить сложные функции:f(g(x)) и g(f(x)).

6. Найти обратную функцию для данной:

Ответы:

1. (D(f)=(

2. (E(f)= )

4. (

5. (f(g(x))= и g(f(x))= .)

6. (

Лекция № 2

Последовательность. Предел числовой последовательности

Бесконечная числовая последовательность

Опредедение.1 Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве N натуральных чисел.

Опредедение.2 Последовательность называется возрастающей (убывающей), если каждый ее член, начиная со второго, больше (меньше) предыдущего, т. е. если для любого n выполняется неравенство > ( < ).

Опредедение.3 Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если каждый ее член, начиная со второго, не больше (не меньше) предыдущего, т.е. если для любого п выполняется неравенство .

Убывающие, возрастающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными.

Опредедение.4 Последовательность называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если можно указать такое число М (число т), что для всех членов этой последовательности выполняется неравенство М ( т). Числа М и т называются соответственно верхней и нижней границами последовательности . Тот факт, что последовательность ограничена сверху числом М (снизу числом т) геометрически означает, что ни одна точка не лежит правее точки М (левее точки т).

Опредедение.5 Последовательность называется ограниченной, если существуют два числа т и М такие, что для всех n выполняется неравенство т М. Тот факт, что последовательность ограничена числами т и М, геометрически означает, что все её члены помещаются в промежутке [т, М].

Опредедение.6 Последовательность называется постоянной, если все ее члены совпадают.

Обычно последовательность задается формулой, выражающей общий член последовательности через n. Иногда указывается правило, по которому можно вычислить n-й член последовательности по ее известным предыдущим членам, такой способ задания последовательности называется индуктивным (или рекуррентным).

Примеры

1. Вычислить пять первых членов последовательности =

Решение. Подставив вместо n последовательно 1, 2, 3, 4, 5, получим .

Написать общий член последовательности натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дает остаток, равный 1.

Решение. Для того чтобы число при делении на-3 давало остаток 1, оно должно иметь вид 3n+1; следовательно, общий член последовательности =3n+1.

3. Последовательность задана рекуррентным соотношением . Найти первые члены последовательности.

Решение. Зададим первый член последовательности: пусть . Полагая в рекуррентном соотношении n=2, получим При n =3, 4, 5 соответственно находим . В результате получаем последовательность 2, 7, 22, 67, 202, ... .

4. Доказать, что последовательность с общим членом = монотонно убывает.

Решение. Для убывающей последовательности выполняется неравенство , или .Запишем ( )-й член последовательности:

Тогда , так как < при любом натуральном п. Следовательно, данная последовательность является убывающей.

5. Доказать, что последовательность ограничена снизу и сверху.

Решение. Очевидно, > 1, т. е. последовательность ограничена снизу. С другой стороны имеем , где – правильная дробь, и, следовательно, 1+ <2, т. е. последовательность ограничена сверху.

123 4 5 6

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.