Полости и резонансные контуры

Хотя описанная нами резонансная полость с виду очень не­похожа на обычный, состоящий из катушки и конденсатора резонансный контур, однако обе резонансные системы тесно между собой связаны. Обе они — члены одной семьи; это всего лишь два крайних примера электромагнитных резонаторов, и между ними можно поместить немало промежуточных стадий. Начнем, скажем, с того, что подключим конденсатор в параллель с индуктивностью и образуем резонансный контур (фиг. 23.16, а). Этот контур будет резонировать на частоту w₀=ÖLC. Если мы захотим поднять частоту в этом контуре, то этого можно дос­тичь, понизив индуктивность L, например уменьшив число вит­ков в катушке. Но далеко на таком пути мы не уйдем. Мы дой­дем до последнего витка и тогда останется просто кусок провода, соединяющий верх и низ конденсатора. Можно было бы продол­жать повышать резонансную частоту, уменьшая емкость; однако можно и дальше уменьшать индуктивность, запараллеливая рядом несколько индуктивностей. Две одновитковые индук­тивности, включенные в параллель друг у друга, приведут к половине индуктивности одного витка. Так что, даже доведя катушку до одного витка, можно продолжать повышать резо­нансную частоту, добавляя отдельные петли, соединяющие верхнюю обкладку конденсатора с нижней. На фиг. 23.16, б показаны обкладки конденсатора, соединенные шестью подоб­ными «одновитковыми индуктивностями». Продолжая прибав­лять новые куски провода, мы постепенно перейдем к совершен­но замкнутой резонансной системе. Такая система (вернее, ее осевое сечение) показана на фиг. 23.16,в. Теперь индуктивность— это пустотелый цилиндр, припаянный к краям обкладок конденсатора. Электрические и магнитные поля будут иметь направление, показанное на рисунке. Такой предмет — это, в сущности, уже резонансная полость. Ее называют «нагружен­ной» полостью. Но можно ее также все еще рассматривать как L—С-контур, в котором емкостная часть — область, где находится большая часть электрического поля, а индуктивная — где помещается большая часть магнитного поля.

Фиг. 23.16. Резонаторы с возрастающей резонансной частотой.

Если мы захотим повысить частоту резонатора на фиг. 23.16,в сильнее, то надо еще уменьшить индуктивность L. Чтобы этого добиться, следует уменьшить геометрические размеры индук­тивной секции, скажем, уменьшить на чертеже высоту h. При уменьшении h резонансная частота растет. И в конце концов можно, конечно, дойти до такого положения, при котором высота h сравняется с промежутком между обкладками. Получится обычная цилиндрическая банка; наш резонансный контур пре­вратится в полый резонатор, показанный на фиг. 23.7.

Заметьте теперь, что в первоначальном резонансном L—С-контуре (фиг. 23.16) электрические и магнитные поля были со­вершенно разделены. Когда мы постепенно видоизменяли резо­нансную систему, все повышая ее частоту, то магнитное поле теснее и теснее сближалось с электрическим, пока в полом резонаторе окончательно не перемешалось с ним.

Хотя все полые резонаторы, о кото­рых в этой главе говорилось, были ци­линдрическими, ничего волшебного в самой цилиндрической форме нет. Банка любого вида все равно будет обладать резонансными частотами, отвечающими различным допустимым типам колеба­ний электрических и магнитных полей. К примеру, у «полости» на фиг. 23.17 будет своя личная совокупность резонансных частот, хотя их и трудно рас­считать.

Фиг, 23.17. Еще одна резонансная полость.

Глава 24

ВОЛНОВОДЫ

Передающая линия

Прямоугольный волновод

Граничная частота

Скорость волн в волноводе

Как наблюдать волны в волноводе

Сочленение волноводов

Типы волн в волноводе

§ 8. Другой способ рассмотрения волн в волноводе

Передающая линия

В предыдущей главе мы выяснили, что слу­чится с сосредоточенными элементами цепи, если на них подать очень высокую частоту. Мы пришли к выводу, что резонансный контур мож­но заменить полостью, внутри которой поля вступают друг с другом в резонанс. Но есть и другой интересный технический вопрос: как связать между собой два предмета, чтобы можно было передать электрическую энергию от одного к другому? В цепях низкой частоты эта связь осуществляется по проводам, но этот способ на высоких частотах не очень хорош, потому что энергия рассеивается во все стороны и трудно контролировать, куда она потечет. От проводов во все стороны разбегаются поля; к тому же то­ки и напряжения высокой частоты не очень хорошо «проводятся» проводами. В этой главе мы и хотим разобраться в том, как можно со­единять между собой предметы на большой частоте. Таков по крайней мере один подход к теме нашей лекции.

Но можно к ней подойти и по-другому, мож­но сказать, что мы пока обсуждали поведение волн в пустом пространстве, а теперь пришло время посмотреть, что случится, если колеблю­щиеся поля ограничить в одном или двух изме­рениях. Мы обнаружим новое интересное яв­ление: если поля ограничить в двух измерениях и дать им свободу в третьем, они распространя­ются в виде волн. «Волны в волноводе» и будут предметом нашей лекции.

Начнем с разработки общей теории линии передачи. Обычная линия электропередачи, ко­торая тянется от мачты к мачте по полям и ле­сам, тратит часть своей мощности на излучение, но частота здесь так мала (50—60 гц), что эти потери почти не­заметны.

Фиг. 24.1. Коаксиальная передающая линия.

От излучения можно избавиться, поместив провод в металлическую трубу, но это непрактично, потому что при та­ких токах и напряжениях в сети без больших, тяжелых и доро­гих труб не обойтись. Так что в ходу обычно «открытые линии».

На частотах чуть повыше (порядка нескольких килогерц) излучение уже вполне заметно. Но его можно уменьшить, поль­зуясь «двухжильной» линией передачи, как это делается при те­лефонной связи на малые расстояния. Однако при дальнейшем повышении частоты излучение вскоре становится нетерпимо сильным либо за счет потерь энергии, либо из-за того, что энер­гия перетекает в другие контуры, где она совсем не нужна. На частоте от нескольких килогерц до нескольких тысяч мегагерц электромагнитные сигналы и электромагнитная энергия обычно передаются по коаксиальным линиям, т. е. по проводу, помещен­ному внутрь цилиндрического «внешнего проводника», или «за­щиты». Хотя дальнейшие рассуждения годятся для линии пере­дачи из двух параллельных проводников любого сечения, речь будет идти о коаксиальном кабеле.

Возьмем простейшую коаксиальную линию, состоящую из центрального проводника (пусть это будет тонкостенный полый цилиндр) и внешнего проводника — тоже тонкостенного цилин­дра, ось которого совпадает с осью внутреннего проводника (фиг. 24.1). Для начала представим себе, как примерно ведет себя эта линия при относительно низких частотах. Мы уже кое-что говорили о поведении при низких частотах, когда утверж­дали, что у двух таких проводников на каждую единицу длины приходится сколько-то там индуктивности и сколько-то емкости. И действительно, поведение любой передающей линии при низ­ких частотах можно описать, задав ее индуктивность на едини­цу длины L₀ и ее емкость на единицу длины С₀. Тогда линию можно было бы рассматривать как предельный случай фильтра L—С (см. гл. 22, § 7). Можно создать такой фильтр, который будет имитировать линию, если последовательно соединить меж­ду собой маленькие элементы индуктивности L₀Ax и зашунтировать их маленькими емкостями С₀Dx; (где Dx; — элемент длины линии). Применяя к бесконечному фильтру наши прежние ре­зультаты, мы бы увидали, что вдоль линии должны распростра­няться электрические сигналы. Но поступим иначе и вместо этого изучим свойства линии, опираясь на дифференциальные уравнения.

Фие. 24.2. Токи и напряже­ния в передающей линии.

Предположим, мы наблюдаем за происходящим в двух сосед­них точках передающей линии, скажем, на расстояниях х и х+Dх от начала линии. Обозначим напряжение между провод­никами через V(x), а ток в верхнем проводнике I(х} (фиг. 24.2). Если ток в линии меняется, то индуктивность вызовет падение напряжения вдоль небольшого участка линии от х до x+Dx

Или, беря предел при Dx®0, получаем

(24.1)

Изменение тока приводит к перепаду напряжения.

Теперь еще раз взгляните на рисунок. Если напряжение в х меняется, то должны появляться заряды, которые на этом участке передаются емкости. Если взять небольшой участок ли­нии от х до x+Dx, то заряд на нем равен q = C₀DxV. Скорость изменения этого заряда равна C₀DxdV/dt, но заряд меняется только тогда, когда ток I(х), входящий в элемент, отличается от выходящего тока I(х+Dх), Обозначая разность через DI,

Если перейти к пределу при Dx®0, получается

(24.2)

Так что сохранение заряда предполагает, что градиент тока про­порционален скорости изменения напряжения во времени. Уравнения (24.1) и (24.2) — это основные уравнения линии передачи. При желании их можно видоизменить так, чтобы они учитывали сопротивление проводников или утечку зарядов че­рез изоляцию между проводниками, но пока нам достаточно са­мого простого примера.

Оба уравнения передающей линии можно объединить, про­дифференцировав первое по t, а второе по x; и исключив V или I. Получится либо

(24.3)

либо

(24.4)

Мы снова узнаем волновое уравнение по х. В однородной передающей линии напряжение (и ток) распространяется вдоль линии как волна. Напряжение вдоль линии будет следовать за­кону V(x, t)=f(x-vt) или V(x, t)=g(x+vt) или их сумме. А что такое здесь v? Мы знаем, что коэффициент при d²/dt² — это просто 1/v². так что

(24.5)

Покажите самостоятельно, что напряжение для каждой волны в линии пропорционально току этой волны и что коэффи­циент пропорциональности — это просто характеристический импеданс z₀. Обозначив через V₊ и I₊ напряжение и ток для вол­ны, бегущей в направлении +x, вы должны будете получить

(24.6)

Равным образом, для волны, бегущей в направлении -х, полу­чится

Характеристический импеданс, как мы уже видели из наших уравнений для фильтра, дается выражением

(24.7)

и поэтому есть чистое сопротивление.

Чтобы найти скорость распространения v и характеристиче­ский импеданс z₀ передающей линии, нужно знать индуктив­ность и емкость единицы длины линии. Для коаксиального ка­беля их легко подсчитать. Поглядим, как это делается. При рас­чете индуктивности мы будем следовать идеям, изложенным в гл. 17, § 8, и положим ¹/₂ LI² равным магнитной энергии, в свою очередь получаемой интегрированием e₀с²B²/2 по объему. Пусть по внутреннему проводнику течет ток I; тогда мы знаем, что B=I/2pe₀с²r, где r — расстояние от оси. Беря в качестве эле­мента объема цилиндрический слой толщины dr и длины l,

получаем для магнитной энергии

где а и b — радиусы внутреннего и внешнего проводников, Интегрируя, получаем

(24.8)

Приравниваем эту энергию к ¹I₂LI² и находим

(24.9)

Как и следовало ожидать, L пропорционально длине l линии, поэтому L₀ (индуктивность на единицу длины) равна

(24.10)

Мы уже рассчитывали заряд на цилиндрическом конден­саторе [гл. 12, § 2 (вып. 5)]. Деля теперь этот заряд на раз­ность потенциалов, получаем

Емкость же на единицу длины С₀— это С/l. Сопоставляя этот результат с (24.10), мы убеждаемся, что произведение L₀C₀ равно просто 1/с², т. е. v=1ÖL₀C₀ равно с. Волна бежит по линии со скоростью света. Нужно подчеркнуть, что этот результат зави­сит от сделанных предположений: а) что в промежутке между проводниками нет ни диэлектриков, ни магнитных материалов; б) что все токи текут только по поверхности проводников (как это бывает в идеальных проводниках). Позже мы увидим, что на высоких частотах все токи распределяются на поверхности хоро­ших проводников, словно они идеальные проводники, так что это предположение правильно.

Любопытно, что в этих двух предположениях произведение L₀C₀ равно 1/с² для любой параллельной пары проводников, да­же в том случае, если, скажем, внутренний шестигранный про­водник тянется как-то вдоль эллиптического внешнего. Пока сечение постоянно и между проводниками нет ничего, волны рас­пространяются со скоростью света.

Подобных общих утверждений по поводу характеристиче­ского импеданса сделать нельзя. Для коаксиальной линии он равен

(24.11)

Множитель 1/e₀c имеет размерность сопротивления и равен 120p ом. Геометрический фактор In(b/a) только логарифмически зависит от размеров, так что коаксиальная линия (и большинст­во других линий), как правило, обладает характеристическим импедансом порядка 50 ом или что-то около этого, до нескольких сот ом.

Прямоугольный волновод

То, о чем мы сейчас будем говорить, на первый взгляд ка­жется поразительным явлением: если из коаксиального кабеля убрать внутреннюю жилу, он все равно будет проводить элект­ромагнитную энергию. Иными словами, на достаточно высокой частоте полая труба действует ничуть не хуже, чем труба, внут­ри которой имеется провод. Связано это с другим таинственным явлением, о котором мы уже знаем,— на высоких частотах ре­зонансный контур (конденсатор с катушкой) можно заменить простой банкой.

Это выглядит очень странно, если пользоваться представле­нием о передающей линии, как о распределенных индуктивности и емкости. Но ведь все мы знаем, что внутри пустой металличе­ской трубы могут распространяться электромагнитные волны. Если труба прямая, через нее все видно! Значит, электромаг­нитные волны через трубу бесспорно проходят. Но мы знаем также, что нет возможности передавать волны низкой частоты (переменный ток или телефонные сигналы) через одну-единственную металлическую трубу. Выходит, электромагнитные вол­ны проходят через нее только тогда, когда их длина волны дос­таточно мала. Поэтому мы рассмотрим предельный случай самых длинных волн (или самых низких частот), способных про­ходить через трубу данного размера. Эту трубу, служащую для прохождения волн, называют волноводом.

Начнем с прямоугольной трубы, ее проще всего анализи­ровать. Сперва изложим все математически, а потом еще раз вернемся назад и рассмотрим вопрос более элементарно. Но этот более элементарный подход легко применить лишь к прямо­угольным трубам. Основные же явления в любой трубе одни и те же, так что математические доводы звучат более основа­тельно.

Поставим перед собой следующий вопрос: какого типа волны могут существовать в прямоугольной трубе? Выберем сначала удобные оси координат: ось z направим вдоль трубы, а оси х и у — вдоль стенок (фиг. 24.3).

Известно, что когда волны света бегут по трубе, их электри­ческое поле поперечно; поэтому начнем с поиска таких решений, в которых Е перпендикулярно z, скажем решений с одной толь­ко y-компонентой Е_y (фиг. 24.4,а). Это электрическое поле должно как-то меняться поперек волновода; действительно, ведь оно должно обратиться в нуль на сторонах, параллельных оси у: токи и заряды в проводнике устраиваются всегда так, чтобы на его поверхности не осталось никаких касательных составляющих электрического поля.

Фиг, 24.3. Выбор осей коорди­нат для прямоугольного волно­вода.

Значит, график Е_y от х должен напоминать некоторую дугу (фиг. 24.4,6). Может быть, это найденная нами для полости функция Бесселя? Нет, функции Бесселя появляются только в задачах с цилиндрической сим­метрией. При прямоугольных сечениях волны — это обычные гармонические функции, что-нибудь вроде sink_xx.

Раз мы ищем волны, которые бегут вдоль трубы, то следует ожидать, что поле как функция z будет колебаться между по­ложительными и отрицательными значениями (фиг. 24.5) и что должно как-то меняться поперек волновода; действительно, ведь оно должно обратиться в нуль на сторонах, параллельных оси у: токи и заряды в проводнике устраиваются всегда так, чтобы на его поверхности не осталось никаких касательных составляющих электрического поля.

Фиг. 24.4. Электрическое поле в волноводе при некотором зна­чении z.

Фиг. 24.3. Выбор осей коорди­нат для прямоугольного волно­вода.

Значит, график Е_y от х должен напоминать некоторую дугу (фиг. 24.4,6). Может быть, это найденная нами для полости функция Бесселя? Нет, функции Бесселя появляются только в задачах с цилиндрической сим­метрией. При прямоугольных сечениях волны — это обычные гармонические функции, что-нибудь вроде sink_xx.

Раз мы ищем волны, которые бегут вдоль трубы, то следует ожидать, что поле как функция z будет колебаться между по­ложительными и отрицательными значениями (фиг. 24.5) и что

Фиг. 24,4. Электрическое поле в волноводе при некотором зна­чении z.

Фиг. 24.5. Зависимость поля в волноводе от z.

эти колебания будут бежать вдоль трубы с какой-то скоростью v. Если имеются колебания с определенной частотой w, то надо испытать, может ли волна меняться по z как cos(wt—k_zz) или, в более удобной математической форме, как еⁱ(wt-k₂z). Такая зависимость от z представляет волну, бегущую со скоростью v=w/k_z [см. гл. 29 (вып. 3)].

Значит, можно допустить, что волна в трубе имеет следую­щую математическую форму:

(24.12)

Давайте-ка поглядим, можно ли при таком допущении удов­летворить правильным уравнениям поля. Во-первых, электри­ческое поле не должно иметь составляющих, касательных к про­воднику. Для этого наше поле подходит; вверху и внизу оно на­правлено поперек стенок, а с боков равно нулю. Впрочем, для последнего необходимо, чтобы полволны sin k_xx как раз укла­дывалось на всей ширине волновода, т. е. чтобы было

(24.13)

Это условие определяет k_x. Есть и иные возможности, например k_xa=2p, Зp, ... или в общем случае

(24.14)

где n — целое. Все они представляют различные сложные рас­положения полей, но мы дальше будем говорить о самом прос­том, когда k_x=p/a, a a — внутренняя ширина трубы.

Далее, дивергенция Е в пустом пространстве внутри трубы должна быть равна нулю, потому что в трубе нет зарядов. У нашего Е есть только y-компонента, но по у она не меняется, так что действительно V•Е=0.

Наконец, наше электрическое поле должно согласовываться с остальными уравнениями Максвелла для пустого пространст­ва внутри трубы. Это все равно, что потребовать, чтобы оно удовлетворяло волновому уравнению

(24.15)

Нам надо проверить, подойдет ли сюда выбранная нами форма (24.12). Вторая производная Е_y по х просто равна —k²_хЕ_у. Вторая производная по у равна нулю, потому что от у ничего не зависит. Вторая производная по z есть —k²_zE_y, а вторая про­изводная по t это —w²Е_y . Тогда уравнение (24.15) утверждает, что

Если Е_y не обращается всюду в нуль (этот случай нас не очень интересует), то это уравнение выполняется всегда, если

(24.16)

Число k_x мы уже закрепили, так что это уравнение говорит нам, что волны предположенного нами типа возможны лишь тогда, когда k_z связано с частотой w условием (24.16), т. е. когда

(24.17)

Волны, которые мы описали, распространяются в направлении z с таким значением k_z.

Волновое число k_z, которое мы получили из (24.17), дает нам при данной частоте w скорость, с которой бегут вдоль трубы узлы волны. Фазовая скорость равна

(24.18)

Вспомните теперь, что длина l, бегущей волны дается форму­лой l=2pv/w, так что k_zтакже равняется 2p/l_g, где l_g— длина волны осцилляции в направлении z — «длина волны в волново­де». Длина волны в волноводе, конечно, отличается от длины электромагнитных волн той же частоты, но в пустом простран­стве. Если длину волны в пустом пространстве обозначить l₀ (что равно 2pс/w), то (24.17) можно переписать в таком виде:

(24.19)

Фиг. 24.6. Магнитное по­ле в волноводе.

Кроме электриче­ских полей, существуют и магнитные поля, кото­рые тоже движутся вол­нообразно. Мы не будем сейчас заниматься выво­дом выражений для них. Ведь c²ÑXВ = dE/dt, и линии В циркулируют вокруг областей, где dE/dt — наибольшее, т. е. на полпути между максимумом и миниму­мом Е. Петли В лежат параллельно плоскости xz и между гребнями и впадинами Е (фиг. 24.6).

Граничная частота

Уравнение (24.16) для k_z на самом деле имеет два корня — один с плюсом, другой с минусом. Ответ следует писать так:

(24.20)

Смысл этих двух знаков просто в том, что волны в волноводе мо­гут бежать и с отрицательной фазовой скоростью (в направлении —z), и с положительной. Волны, естественно, должны иметь возможность бежать в любую сторону. И раз одновременно мо­гут существовать оба типа волн, то решение в виде стоячих волн тоже возможно.

Наше уравнение для k_z сообщает нам также, что высшие час­тоты приводят к большим значениям k_g, т. е. к более коротким волнам, пока в пределе больших w величина k не станет равной w/с — тому значению, которое бывает, когда волна бежит в пусто­те. Свет, который мы «видим» сквозь трубу, все еще бежит со ско­ростью с. Но посмотрите зато, какая странная вещь получается, когда частота убывает. Сперва волны становятся все длиннее и длиннее. Но если частота w станет чересчур малой, то под кор­нем в (24.20) внезапно появится отрицательное число. Это произойдет, когда w перевалит через pс/а или когда l₀ станет боль­ше 2а. Иначе говоря, когда частота становится меньше некото­рой критической частоты w_c=pс/а, волновое число k_z (а также l_g) становится мнимым и никакого решения у нас не остается. Или остается? Кто, собственно, сказал, что k_z должно быть действи­тельным? Что случится, если оно станет мнимым? Уравнения-то поля по-прежнему ведь будут удовлетворяться. Может быть, и мнимые k_z тоже представляют какую-то волну?

Предположим, что w действительно меньше w_c; тогда можно написать

(24.21)

где k' — действительное положительное число

(24.22)

Если теперь вернуться к нашей формуле (24.12) для Е_y , то надо будет написать

(24.23)

что можно также представить в виде

(24.24)

Это выражение приводит к полю Е, которое во времени колеб­лется как e^iwt, a no z меняется как e^±k'z. Оно плавно убывает или возрастает с z, как всякая действительная экспонента. В нашем выводе мы не думали о том, откуда взялись волны, где их источник, но, конечно, где-то в волноводе он должен быть. И знак, который стоит при k', должен быть таков, чтобы поле убывало при удалении от источника волн.

Итак, при частотах ниже w_с—pс/а волны вдоль трубы не рас­пространяются; осциллирующее поле проникает в трубу лишь на расстояние порядка i/k'. По этой причине частоту w_с назы­вают «граничной частотой» волновода. Глядя на (24.22), мы ви­дим, что для частот чуть пониже w_c число k' мало, и поля могут проникать в трубу довольно далеко. Но если со намного меньше w_с, коэффициент k' в экспоненте равняется p/а, и поле отмирает чрезвычайно быстро (фиг. 24.7). Поле убывает в е раз на расстоя­нии а/p, т. е. на трети ширины волновода. Поля проникают в волновод на очень малое расстояние от источника.

Мы хотим еще раз подчеркнуть эту характерную черту на­шего анализа прохождения волн по трубе — появление мнимого волнового числа k_z. Когда, решая уравнение в физике, мы полу­чаем мнимое число, то это обычно ничего физического не озна­чает. Для волн, однако, мнимое волновое число действительно нечто означает. Волновое уравнение по-прежнему удовлетво­ряется; оно только означает, что решение приводит к экспоненциально убывающему полю вместо распространяющихся волн

Фиг. 24.7. Изменение Е_y с ро­стом z при w<<w_c.

Итак, если в любой задаче на волны k при какой-то частоте ста­новится мнимым, это означает, что форма волны меняется — синусоида переходит в экспоненту.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: