Поля колеблющегося диполя

Мы пока еще не провели обещанного вывода формулы (21.1) для электрического поля движущегося точечного заряда. Даже зная то, что мы уже знаем, этот вывод все равно проделать не­легко. Нам не удалось обнаружить формулы (21.1) нигде, ни в каких книжках и статьях (кроме первых выпусков этих лек­ций). Это свидетельствует о том, что вывод ее не прост. (Поля движущегося заряда записывались неоднократно и в других видах, которые все, конечно, эквивалентны.) Мы ограничимся поэтому здесь тем, что просто покажем на нескольких приме­рах, что (21.15) и (21.16) приводят к тем же результатам, что и (21.1). Первым делом мы покажем, что при том единственном условии, что движение заряженной частицы является нереля­тивистским, (21.1) приводит к правильной величине полей. (Уже этот частный случай покрывает 90% всего того, что было сказано о явлении света.)

Рассмотрим такую ситуацию, когда имеется сгусток заря­дов, каким-то образом перемещающийся в небольшой обла­сти; требуется найти создаваемые им где-то вдалеке от этого места поля.

Можно поставить вопрос и иначе: мы найдем поле на произвольном расстоянии от точечного заряда, который почти незаметно колеблется вверх и вниз. Поскольку свет обычно испускают такие нейтральные тела, как атомы, то мы будем считать, что наш колеблющийся заряд q расположен вблизи неподвижного, равного по величине, но противоположного по знаку заряда. Если расстояние между центрами зарядов рав­но d, то у зарядов появится дипольный момент p=qd,который мы будем считать функцией времени. Следует ожидать, что поблизости от зарядов запаздыванием поля можно будет прене­бречь; электрическое поле будет в точности таким же, как и то, которое получалось раньше для электростатического диполя [но, конечно, с мгновенным дипольным моментом p(t)]. Однако при большом удалении в формуле для поля должно появиться добавочное слагаемое, которое меняется как 1/r и зависит от того, каково ускорение заряда в направлении, поперечном к лучу зрения. Посмотрим, получится ли у нас этот результат. Начнем с вычисления векторного потенциала А при помощи (2.16). Пусть плотность зарядов в сгустке есть r(х, у, z) и весь он движется все время со скоростью v. Тогда плотность тока j(x, у, z) равна vr(x,y, z). Удобно систему координат располо­жить так, чтобы ось z была направлена по v; тогда геометрия нашей задачи изобразится так, как показано на фиг. 21.2. Нас интересует интеграл

(21.17)

Если размеры заряда-сгустка на самом деле намного мень­ше, чем r₁₂, то r₁₂ в знаменателе можно положить равным r (расстоянию от центра сгустка) и вынести rза знак интеграла. Кроме того, мы собираемся положить и в числителе r₁₂=r, хотя это и не совсем верно. А неверно это потому, что на самом деле, скажем, полагается брать j в верхней части сгустка совсем не в тот момент, когда в нижней, а немного в другое время.

Фиг. 21.2. Потенциалы в точке (1) даются интегралами от плот­ности заряда r.

По­лагая r₁₂=r в j(t-r₁₂/с), мы вычисляем плотность тока для всего сгустка в одно и то же время (t-r/с). Это приближение годится лишь тогда, когда скорость v заряда много меньше с. Мы, стало быть, ведем расчет в нерелятивистском случае. После замены j на rv интеграл (21.17) превращается в

Раз скорость всех зарядов в сгустке одна и та же, этот инте­грал просто равен v/r, умноженному на общий заряд q. Но qv — это как раз dp/dt (скорость изменения дипольного момента), только надо ее, конечно, определять в более раннее время (t-r/с). Запишем эту величину так: p(t-r/с). Итак, мы полу­чаем для векторного потенциала

Мы узнали, что ток в меняющемся диполе создает векторный потенциал в форме сферических волн, источник которых обла­дает силой р’/4pe₀с².

Теперь из B=ÑXA можно получить магнитное поле. По­скольку р’ направлен по оси z, у А есть только z-компонента; в роторе остаются только две ненулевые производные. Значит, В_х=дА_г/ду и В=—дА_z/дх. Поглядим сперва на В_х:

(21.19)

Чтобы продифференцировать, вспомним, что r=Ö(x:²+y²+z²), так что

Но мы помним, что дr/ду=y/r; значит, первое слагаемое даст

(21.21)

что убывает как 1/r², т. е. как поле статического диполя (потому что в данном направлении у/r постоянно).

Второе слагаемое в (21.20) приводит к новому эффекту. Если провести в нем дифференцирование, то получится

(21.22)

где р” — просто вторая производная р по t. Вот это-то получаю­щееся от дифференцирования числителя слагаемое и ответственно за излучение. Во-первых, оно описывает поле, убываю­щее на расстоянии как i/r, во-вторых, зависит от ускорения заряда. Теперь вам должно быть ясно, как мы собираемся по­лучить формулу типа (21.1'), описывающую световое излучение.

Явление это настолько интересно и важно, что стоит немного подробнее разобраться в том, откуда берется это «радиацион­ное» слагаемое. Мы начинали с выражения (21.18), зависящего от rкак 1/r и тем самым похожего на кулонов потенциал (если не обращать внимания на запаздывающий множитель в числи­теле). Почему же когда мы, желая получить поле, дифферен­цируем по пространственным координатам, то не получаем просто поля вида 1/r² (конечно, с соответствующей временной задержкой)?

А вот почему. Представьте, что диполь приведен в колеба­тельное движение вверх и вниз. Тогда

Если начертить график зависимости А_r от rв каждый данный момент, то получится кривая, показанная на фиг. 21.3. Амплитуда в пиках убывает как 1/r, но, кроме того, еще имеются пространственные колебания, которые ограничены огибающей вида 1/r. Пространственные производные в формуле пропор­циональны наклону кривой. Из фиг. 21.3 видно, что встречаются намного более крутые наклоны, чем наклон самой кривой 1/г. Очевидно, что при данной частоте наклоны в пиках пропорцио­нальны амплитуде волны, меняющейся как 1/r. Тем самым объяс­няется степень спадания радиационного слагаемого с расстоя­нием.

Все это получается оттого, что временные вариации в источ­нике превращаются в пространственные вариации, когда волны начинают разбегаться в стороны, магнитные же поля зависят от пространственных производных потенциала.

Фиг. 21.3. Зависимость ве­личины А от r в момент t для сферической волны от колеблющегося диполя.

Теперь возвратимся назад и закончим наши расчеты магнит­ного поля. Для В_х мы получили (21.21) и (21.22). Поэтому

(21.1')

С помощью точно таких же выкладок мы придем к

И все это можно объединить в одну красивую векторную фор­мулу:

(21.23)

А теперь взгляните на нее. Прежде всего на больших удале­ниях (когда rвелико) следует принимать в расчет только р. Направление В дается вектором pXr,перпендикулярным и к радиусу r, и к ускорению (фиг. 21.4). Все сходится с тем, что получилось бы из формулы (21.1').

Теперь посмотрите (к этому мы не привыкли) на то, что про­исходит поблизости от заряда. В гл. 14, § 7 (вып. 5) мы вывели закон Био и Савара для магнитного поля элемента тока. Мы нашли, что элемент тока jdV привносит в магнитное поле сле­дующий вклад:

(21.24)

Вы видите, что эта формула с виду очень похожа на первое слагаемое в (21.23), если только вспомнить, что р — это ток. Но разница все же есть. В (21.23) ток надо подсчитывать в момент (t-r/с), а в (21.24) этого нет. На самом деле, однако, (21.24) для малых r все еще годится, потому что второе слагае­мое в (21.23) стремится уничтожить эффект запаздывания из первого слагаемого. Вместе оба они приводят при малых r к результату, очень близкому к (2124).

Фиг. 21.4. Поля излучения В и Е колеблющегося диполя.

В этом можно убедиться следующим образом. Когда rмало, (t-r/с) не очень отличается от t, и в (21.23) скобки можно раз­ложить в ряд Тэйлора. Первый член разложения дает

n в том же порядке по r/с

Если их сложить, члены с р уничтожатся и слева останется незапаздывающий ток р, т. е. р(t) плюс члены порядка (r/с)² и выше [например, ¹/₂(r/с)²Р"']. Эти члены при достаточно малых r (малых настолько, что за время r/с ток р заметно не меняется) будут очень малы.

Стало быть, (21.23) приводит к полям, очень похожим на те, которые дает теория с мгновенным действием, гораздо более по­хожим на них, чем на поля теории с мгновенным действием и с задержкой; эффекты задержки первого порядка компенсируют­ся вторым членом. Статические формулы очень точны, намного более точны, чем вам могло бы показаться. Конечно, компенса­ция чувствуется только вблизи от заряда. Для далеких точек эти поправки уже ничего не спасают, потому что временное за­паздывание приводит к очень большим эффектам и в конечном счете к важному члену 1/r — к эффекту излучения.

Перед нами все еще стоит задача расчета электрического поля и доказательства того, что оно совпадает с (21.1'). Правда, уже чувствуется, что на больших расстояниях ответ получится такой, как надо. Мы знаем, что вдали от источников, где воз­никает распространяющаяся волна, Е перпендикулярно к В (и к r), как на фиг. 21.4, и что с В=Е. Значит, Е пропорциональ­но ускорению р", как и предсказывалось формулой (21.1').

Чтобы получить электрическое поле на всех возможных рас­стояниях, нужно найти электростатический потенциал. Когда мы подсчитывали интеграл токов для А, желая получить (21.18), то сделали приближение: мы пренебрегли малозамет­ным изменением r в члене с запаздыванием. Для электростати­ческого потенциала этого делать нельзя, потому что тогда у нас получилось бы {/r, умноженное на интеграл от плотности за­ряда, т. е. на константу. Такое приближение чересчур грубо. Надо обратиться к высшим порядкам. И вместо того, чтобы пу­таться в этих прямых расчетах высших приближений, можно поступить иначе — определить скалярный потенциал из равен­ства (21.6), используя уже найденное значение векторного по­тенциала. Дивергенция А в этом случае просто равна dAJdz, поскольку А_х и A_y тождественно равны нулю. Дифференцируя точно так же, как это делалось выше при вычислении В, получаем

Или в векторных обозначениях

Из равенства (21.6) получается уравнение для j:

Интегрирование по t просто убирает надо всеми р по одной точке:

(Постоянная интегрирования отвечала бы некому наложенному статическому полю, которое, конечно, может существовать, но мы считаем, что у выбранного нами колеблющегося диполя ста­тического поля нет.) Теперь мы можем из

найти электрическое поле Е. После утомительных (хоть и пря­мых) выкладок [при этом нужно помнить, что p(t-r/с) и его производные по времени зависят от х, у и z через запаздывание r/с] мы получаем

где

(21.27)

Это выглядит довольно сложно, но интерпретируется просто. Вектор р* — это дипольный момент с запаздыванием и с «по­правкой» на запаздывание, так что два члена с р* в (21.26) при малых r дают просто статическое поле диполя [см. гл. 6 (вып. 5), выражение (6.14)]. Когда rвелико, то член с р преобладает над остальными, и электрическое поле пропорционально ускорению зарядов в направлении поперек r и само направлено вдоль

проекции р на плоскость, перпендикулярную к r.

Этот результат согласуется с тем, что мы получили бы, применяя формулу (21.1'). Конечно, эта формула — более об­щая; она годится для любого движения, а не только для мало­заметных движений, для которых запаздывание r/с в пределах всего источника можно считать постоянным [как (21.26)]. Во всяком случае, теперь мы укрепили столбами все наше преж­нее изложение свойств света, за исключением лишь некоторых вопросов из гл. 34 (вып. 3), которые связаны с последней частью выражения (21.26). Мы можем теперь перейти к получению поля быстродвижущихся зарядов. Это приведет нас к релятивист­ским эффектам [гл. 34 (вып. 3)].

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: