Понятие фундаментальной последовательности. Критерий

Коши.

В этом пункте приводится важный критерий сходящейся последовательности, то есть необходимое и достаточное условие существования у неё конечного предела. При этом важность и оригинальность критерия состоит в том, что при его проверке не привлекается значение самого предела. В формулировке этого критерия и при работе с ним используется понятие фундаментальной последовательности.

Определение фундаментальной последовательности

Числовая последовательность называется фундаментальной последовательностью, если она удовлетворяет следующему условию: для любого числа существует такой номер , что для всех и для всех выполняется неравенство

Это условие называется условием Коши. Его можно записать еще в следующем виде:

Геометрическая интерпретация условия Коши состоит в том, что члены фундаментальной последовательности с достаточно большими номерами становятся сколь угодно близкими друг к другу, так как расстояние между любыми двумя членами этой последовательности меньше любого малого числа , если номера этих членов больше, чем .

wДоказательство необходимости.

Пусть последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число . Тогда по определению конечного предела имеем, что

Поэтому если брать и , то

то есть при и , что и означает фундаментальность последовательности . Таким образом, доказано, что если последовательность сходится, то она является фундаментальной.

Доказательство достаточности.

Пусть теперь последовательность является фундаментальной. Докажем, что она сходится. Доказательство проведем в два этапа.

1 этап. Докажем, что является ограниченной.

Действительно, согласно условию Коши по можно указать такой номер , что выполняется неравенство при и . В частности, это неравенство должно выполняться при , тогда

то есть часть последовательности – с номерами является ограниченной. Поэтому очевидно, что является ограниченной и вся фундаментальная последовательность .

2 этап. Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса из ограниченной последовательности

всегда можно извлечь сходящуюся подпоследовательность , так что , где при .

Докажем теперь, что число является пределом всей фундаментальной последовательности . Действительно, для того же числа запишем условие Коши для :

Выберем теперь в подпоследовательности номера так, чтобы имело место неравенство (это можно сделать в силу того, что при ). Тогда по условию Коши при и при имеем, что

,

то есть на основании условия Коши составлена оценка модуля разности между членами последовательности и ее сходящейся подпоследовательности .

Рассматриваем при :

это означает, что существует конечный предел фундаментальной последовательности , т.е. сходится.v

Пример (доказательство сходимости последовательности по критерию Коши)

Пользуясь критерием Коши, докажем сходимость последовательности , если

для этого достаточно показать, что последовательность является фундаментальной, т.е. что для нее выполнятеся условие Коши:

Заметим, что это условие означает

и оценим для данной :

Далее используем для оценки последнего выражения очевидное неравенство

С учетом всех сделанных оценок получаем, что

Переходим к пределу в обеих частях этого неравенства при :

но предел в левой части неравенства отрицательным быть не может, так как ; поэтому остается сделать вывод, что

Последовательность является фундаментальной, следовательно, сходится.

5.5. Упражнения для самостоятельной работы

Задача 1

Запишите последовательность , выделите из неё сходящуюся подпоследовательность, если ограничена, или бесконечно большую последовательность, если неограничена:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Задача 2

Используя критерий Коши, докажите сходимость последовательностей , если:

.

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1) - ограничена т.к. при

, , ;

2) - неограничена ;

3) - ограничена, т.к.

;

;

4) - неограниченная, но не бесконечно большая

, при .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: