Основные теоремы о бесконечно больших последовательностях

Теорема о сумме двух бесконечно больших последовательностей

Если две последовательности и являются бесконечно большими при и все их члены и при этом имеют одинаковый знак, то их сумма также является бесконечно большой последовательностью при .

w По определению бесконечно большой последовательности имеем:

Тогда при номерах , где верно неравенство

.

Теперь используем известное свойство модуля: , причем только тогда, когда и имеют одинаковые знаки. По условию теоремы числа и имеют одинаковые знаки, поэтому .

Следовательно, при верно неравенство , где - это произвольное малое число. Это означает, что , то есть последовательность является бесконечно большой при . v

Теорема о сумме бесконечно большой и ограниченной последовательностей

Если последовательность является бесконечно большой при и последовательность является ограниченной, то их сумма является бесконечно большой последовательностью при .

w Запишем определения ограниченной последовательности и бесконечно большой последовательности:

1) – ограниченная число при ;

очевидно, что из неравенства следует неравенство ;

2) – б. б. ,

где – сколь угодно малое число; если обозначить , то определение

бесконечно большой последовательности можно записать несколько иначе:

,

где M – сколь угодно большое число.

Теперь рассмотрим , используя при этом известное свойство модуля :

.

Таким образом, показано, что для любого числа , сколь большим бы его ни брать, существует номер такой, что при выполняется неравенство . По определению бесконечного предела это означает, что , то есть последовательность является бесконечно большой при .v

Теорема о произведении бесконечно больших последовательностей

Если две последовательности и являются бесконечно большими при , то их произведение также есть бесконечно большая последовательность при .

w Для доказательства запишем определения пределов обеих бесконечно больших последовательностей:

;

таким образом, показано, что

– бесконечно большая последовательность при . v

Теорема о связи бесконечно большой последовательности с бесконечно малой последовательностью

Если бесконечно большая последовательность при и , то последовательность является бесконечно малой при .

w Записываем определение предела бесконечно большой последовательности:

– б.б. при .

Переходим к неравенству обратных величин: при , учитывая, что

. Используя свойство модуля, получаем, что верно неравенство при

для любого числа , сколь малым бы оно ни было; это означает по

определению предела, что является

бесконечно малой при .v

Теорема о произведении бесконечно большой последовательности на ограниченную последовательность

Если последовательность бесконечно большая при , последовательность ограниченная, но не является бесконечно малой, и все её члены отличны от нуля (хотя бы начиная с некоторого номера ), то произведение этих последовательностей есть бесконечно большая последовательность при .

w Поработаем с ограниченной последовательностью : учитывая, что она не является бесконечно малой и что все её члены отличны от нуля (хотя бы начиная с некоторого номера ), при можно зафиксировать ограниченность членов этой последовательности по модулю: , где a и b – положительные числа;

перейдем к неравенству обратных величин и получим, что ,
то есть последовательность также является ограниченной.

Теперь поработаем с бесконечно большой последовательностью . Так как числа становятся сколь угодно большими (по модулю) при достаточно больших номерах , то можно предположить, что среди чисел нет равных нулю, поэтому последовательность из их обратных величин может быть образована и является бесконечно малой (по теореме о связи бесконечно большой последовательности с бесконечно малой последовательностью). Очевидно, что также является бесконечно малой и следующая последовательность из модулей .

Рассмотрим модуль произведения величин и :

в знаменателе имеем произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность ; по теоремам о бесконечно малых величины образуют бесконечно малую последовательность, тогда обратные им величины образуют бесконечно большую последовательность; следовательно, последовательность является бесконечно большой при . v

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: