Теоремы о сходящихся последовательностях

Предыдущая 1 2 3 456 7 8 Следующая

Теорема о сумме, разности и произведении сходящихся последовательностей

Если последовательности

являются сходящимися, то есть имеют конечные пределы:

, то сходящимися являются их сумма, разность и произведение, при этом справедливы следующие равенства:

w Для доказательства используем признак сходящейся последовательности и свойства бесконечно малых последовательностей:

сходящаяся последовательность;

сходящаяся последовательность. v

Замечания

1. В качестве следствия из теоремы о пределе произведения получаем, что если одна из перемножаемых последовательностей является стационарной, например, , то ,

так как предел постоянной равен этой постоянной. Поэтому следствие можно сформулировать так:

постоянный множитель можно выносить за знак предела последовательности.

2. Теоремы о пределе суммы и о пределе произведения сходящихся последовательностей распространяются на любое конечное число слагаемых или сомножителей:

; .

Теорема о пределе дроби

Если последовательность

– сходится, последовательность

– сходится, но при этом не является бесконечно малой и

то сходящуюся последовательность образуют дроби

, при этом справедлива следующая формула:

wДля доказательства используем признак сходящейся последовательности:

ℝ .;

ℝ .

Дроби можно образовать, так как , и представить в следующем виде:

Поработаем с последовательностью :

следовательно, ограниченная как всякая сходящаяся последовательность, но не является бесконечно малой (так как ); при этом при достаточно больших номерах n величины являются положительными, так как становятся сколь угодно близкими к числу , поэтому обратные им величины также являются ограниченными.

Теперь можно сделать вывод о том, что величины образуют бесконечно малую последовательность (по теореме о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей).

Таким образом, доказано, что

. v

Практическое вычисление пределов. Понятие о неопределенностях

Рассмотрим примеры вычисления пределов с использованием доказанных теорем о бесконечно малых, бесконечно больших, ограниченных и сходящихся последовательностях:

1) , по теореме о пределе суммы сходящихся последовательностей;

2) , по теореме о сумме двух бесконечно больших одного знака;

3) , по теореме о произведении бесконечно большой на ограниченную последовательность, так как последовательность ограниченная, но не является бесконечно малой и ;

4) , по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой;

5) , так как постоянный множитель можно выносить за знак предела;

6) , по теореме о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей.

Если заданный предел нельзя вычислить ни по одной из теорем о сходящихся, о бесконечно малых, о бесконечно больших и ограниченных последовательностях, то говорят, что в этом пределе имеется неопределенность, и указывают её тип: , , , и другие. Чтобы вычислить такой предел, нужно неопределенность раскрыть; смысл этой процедуры состоит в том, чтобы сделать тождественное преобразование выражения, стоящего под пределом, так, чтобы неопределенность исчезла, и предел можно было вычислить по одной из рассмотренных теорем.

Примеры (раскрытие неопределенностей)

1) , окончательно предел вычисляется по теореме о пределе дроби;

2)
, при вычислении предела были использованы теорема о пределе дроби, об ограниченности сходящейся последовательности и о произведении бесконечно большой на ограниченную последовательность, не являющуюся бесконечно малой;

3)

, при вычислении использованы теоремы о сумме двух бесконечно больших одного знака, о связи бесконечно большой с бесконечно малой, постоянный множитель вынесен за знак предела.