Ограниченность последовательности, связь с пределом

Если множество значений членов последовательности является ограниченным сверху (снизу), то называется ограниченной сверху (снизу) последовательностью.

Если ограничена и сверху и снизу, то она называется ограниченной последовательностью:

 

 

 

Это формальное определение ограниченной последовательности можно записать в другом виде:

 

,

при этом можно брать s New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="22"/></w:rPr></m:ctrlPr></m:dPr><m:e><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>b</m:t></m:r></m:e></m:d></m:e></m:d></m:e></m:func></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

Точные грани ограниченной последовательности – это точные грани множества её значений: , .

Если не является ограниченной, то она называется неограниченной последовательностью, то есть неограниченная последовательность не является ограниченной либо сверху, либо снизу, либо и сверху и снизу.

Например,

1) – это ограниченная последовательность, так как при ;

2) – это неограниченная последовательность, так как не является ограниченной сверху.

Свойство ограниченности/неограниченности последовательности связывается с ее пределом следующими двумя теоремами.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Если последовательность имеет конечный предел, то она является ограниченной.

wПусть , где - это число. По определению конечного предела в любой -

окрестности точки находятся все члены этой последовательности, начиная с их

некоторого номера. Поэтому, если взять , то вне промежутка может

находиться только конечное количество чисел (рис. 17):

Рис.17

Обозначим через наибольшее расстояние от числа до чисел :

.

Тогда для будет верно, что . Это по определению и означает ограниченность последовательности .v

Обратное утверждение не является верным, то есть из ограниченности последовательности не следует существование её конечного предела.

Например, числа образуют ограниченную, но не сходящуюся последовательность.

w Пусть (или или ). По определению бесконечного предела в любой находятся все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, то есть является верным неравенство при . Отсюда следует, что не может быть ограниченной сверху, так как в противном случае существовало бы число , такое что ; но это бы противоречило неравенству , если число взять таким, что , (рис. 18).

Рис. 18

Таким образом, является неограниченной, так как она не ограничена сверху. v

Обратное утверждение не является верным, то есть не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.

Например, – это неограниченная последовательность, но не бесконечно большая.

В результате доказанных теорем можно схематично изобразить связь понятий ограниченности и предела последовательности:

Словами эта связь формулируется следующим образом:

ограниченность является необходимым условием для сходимости последовательности, но недостаточным; неограниченность является необходимым условием для бесконечно большой последовательности, но недостаточным.

2.8. Упражнения для самостоятельной работы

1.Пользуясь признаком существования конечного предела, докажите, что

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2.Среди последовательностей с общим членом укажите номера сходящихся, бесконечно больших, бесконечно малых последовательностей и последовательностей, не имеющих предела:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

3.Среди последовательностей с общим членом укажите номера ограниченных и неограниченных последовательностей; для каждой ограниченной последовательности укажите её точные грани:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) 8) .

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

2. Сходящиеся последовательности: 3), 4), 6);

бесконечно большие последовательности: 1), 2), 8);

бесконечно малые последовательности: 3), 4);

последовательности, которые не имеют предела: 5), 7).

3.Ограниченные последовательности: 2), 3), 5), 6), 7), 8);

неограниченные последовательности: 1), 4);

точные грани ограниченных последовательностей:

2) ;

3) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: