|
|
Теоретические основы оценки погрешностиПусть задана задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
Предположим, что в области D, где задача Коши однозначно разрешима, функция
Обозначим При достаточно малом шаге h можно отбросить слагаемое
Производные, входящие в правую часть формулы (6.2.) можно последовательно вычислить:
С увеличением порядка производных формулы для их вычисление становиться более громоздкими и непосредственное использование этих формул в (6.2) для вычисления
Здесь
где
Зная Выбор постоянных При этом функция
обладает свойством
и следует подбирать Разность между точным значением
т.е. погрешность метода на одном шаге будет равна:
где Метод Эйлера Метод Эйлера является одним из самых простых методов решения дифференциальных уравнений первого порядка
где Так как метод Эйлера является одношаговым, то для определения погрешности метода на одном шаге полагают
где Пример 12. Решить дифференциальное уравнение вида Это уравнение имеет аналитическое решение Для контроля решения численным методом приведем наряду с численным и точное решение. Первый шаг: Второй шаг: Процесс вычислений по приведенной формуле не представляет трудностей, поэтому приведем остальные результаты в таблице. Таблица 6.1
Относительная погрешность при этом методе составила Модифицированный метод Эйлера Для повышения точности на практике используют модифицированный метод Эйлера второго порядка. Он имеет следующий вычислительный алгоритм:
В формуле используется значение Точность вычислений обычно контролируют двойным просчетом: сначала вычисляют решение уравнения на каком-то текущем шаге Погрешность шага при этом методе:
где Пример 13. Условие задачи сформулировано в примере 12. Первый шаг (по методу Эйлера): Первый шаг по модифицированному методу:
Второй шаг (по методу Эйлера): Второй шаг по модифицированному методу:
Результаты дальнейших шагов представим в таблице. Таблица 6.2
Относительная погрешность при этом методе составила Метод Рунге-Кутта Существует целая группа методов Рунге–Кутта среди которых наибольшее распространение получил метод четвертого порядка. Он более точен, чем метод Эйлера, который является методом первого порядка. Для расчета одного значения функции необходимо четыре раза вычислять правую часть дифференциального уравнения, а не два, как в модифицированном методе Эйлера второго порядка. Вычислительный алгоритм записывается следующим образом:
где
Здесь также для контроля точности можно применять прием двойного просчета. Погрешность шага при этом методе:
где Пример 14. Условие задачи сформулировано в примере 12. На первом шаге по приведенным для
На втором шаге получим:
соответственно будет
Дальнейшие результаты представлены в таблице. Таблица 6.3
Относительная погрешность при этом методе составила Литература 1. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с. 2. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов / В.М. Вержбицкий. – 2-е изд., испр. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2005. – 400с. 3. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 256 с.: ил. 4. Численные методы: Учебное пособие для студентов направления «Прикладная математика и информатика» / М.Г. Бояршинов; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1998. 176 с. 5. Численные методы. Часть 2: Учебное пособие для студентов направления «Прикладная математика и информатика» / М.Г. Бояршинов; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1999. 200 с. 6. Численные методы: Теоретические основы и примеры реализации методов: Конспект лекций / А.В. Затонский; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1998. 103 с. 7. Приближенное решение дифференциальных уравнений: Метод. указания для студентов 1-го и 2-го курсов / Сост. Е.Л. Гусаренко; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1997. 17 с. 8. Приближенное вычисление определенных интегралов методом Симпсона: Лаборат. работа по высшей математике для студентов 1-го курса / Сост. С.А. Гусаренко; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1993. 19 с. 9. Приближенные методы вычисления корней уравнения: Лаборат. работа / Сост. Т.А. Серова; Перм. политех. ин-т. Пермь, 1981. 12 с. [1]Аппроксимация – построение приближенной (аппроксимирующей) функции, наиболее близко проходящей около данных точек или данной непрерывной функции. [2] Spline (англ.) – гибкая линейка 
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
, 
, 
.
имеет непрерывные частные производные до n-го порядка включительно. Тогда искомое решение будет иметь непрерывные производные до порядка (n+1) и для функции 
можно записать формулу Тейлора:
(6.1)
, 
, 
.
и приближенно считать
(6.2)
, 
, …
нецелесообразно. Рунге предложил вместо этого составлять линейную комбинацию:
(6.3)
, (6.4)
(6.5)
и выбрав шаг h, можно последовательно вычислить все 
.
производится так, чтобы разложения (6.2) и (6.3) по степеням h при произвольной функции 
при продвижении на один шаг длиной h и его приближенным значением вычисляется по формуле
(6.6)
. (6.7)
- шаг по 
(в общем случае может быть непостоянным). Запускается метод из начальных условий 
.
Тогда формула (6.6) примет вид:
(6.8)
при начальных условиях 
с шагом 
на интервале 
.
.
.
.
, т.е. 2,16%.
. (6.9)
, с еще пока неизвестным значением 
.Это значение может быть найдено предварительно, например, по методу Эйлера, а затем использовано в алгоритме. Если же выражение 
несложное, то можно выразить 
из уравнения в явном виде и найти его или решить его относительно 
, т.е. находясь в точке 
и вычисляя значение 
, затем в эту же точку 
приходят за два шага по 
, получают 
и сравнивают их: если для обоих вариантов различие 
в пределах желаемой погрешности, то решение принимают, а если нет, то опять делят шаг на два и т.д., до тех пор, пока не получится приемлемый результат. Однако следует помнить, что при очень маленьком шаге, получающемся в результате его последовательного деления, может значительной оказаться накапливающаяся вычислительная ошибка.
(6.10)
.
.
.
.
, т.е. 0,79%.
, (6.11)
, (6.12)
, (6.13)
, (6.14)
. (6.15)
(6.16)
, 
, 
, 
формулам получим:
;
;
;
.
.
, 
, 
, 
.
.
, т.е. 0,01%.