Концепция численного интегрирования

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции . Если можно найти первообразную функции , то интеграл вычисляют по формуле Ньютона-Лейбница: .

При этом могут возникнуть следующие трудности:

- отыскание первообразной весьма сложно;

- не любая непрерывная функция и её первообразная выражаются элементарными функциями;

- функция задана графически или таблично.

В таких случаях для вычисления определенного интеграла прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл можно найти с любой степенью точности.

Наиболее используемыми являются следующие формулы приближенного вычисления определённого интеграла:

- формула прямоугольников;

- формула трапеций;

- формула парабол (формула Симпсона).

Формула прямоугольников

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Требуется вычислить определенный интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции.

Разобьем основание этой трапеции, т.е. отрезок , на равных частей (частичных отрезков) точками . Длина каждого отрезка равна , где (рис. 6).

В середине каждого отрезка построим ординату графика функции . Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью .

Сумма площадей всех прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла:

. (5.1)

Рис. 6.

Погрешность формулы (5.1) оценивается с помощью формулы:

(5.2)

где – наибольшее значение второй производной на отрезке .

Пример 9.

Вычислить интеграл с помощью формулы прямоугольников, разбив отрезок интегрирования на 8 частей.

Решение.

По условию a = 1, b = 2, n = 8, .

Таблица 5.1

i
	1,000
	1,125	1,0625	0,780377
	1,250	1,1875	0,408854
	1,375	1,3125	-0,033996
	1,500	1,4375	-0,457565
	1,625	1,5625	-0,786985
	1,750	1,6875	-0,970745
	1,875	1,8125	-0,985006
	2,000	1,9375	-0,834274
			-2,879340

.

Оценим погрешность найденного значения. Найдем вторую производную функции ,

,

,

.

Следовательно, .

Ответ: .

Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников, заменяя на каждом частичном отрезке криволинейную трапецию обычной.

Разобьем основание криволинейной трапеции, т.е. отрезок , на равных частичных отрезков длины . Абсциссы точек деление (рис. 7). Пусть – соответствующие им ординаты графика функций. В этом случае будут иметь место формулы: , , где .

Заменим кривую ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат и где . Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями , где , и высотой :

или

. (5.3)

Погрешность формулы (5.3) оценивается с помощью формулы:

(5.4)

где – наибольшее значение второй производной на отрезке .

Рис. 7.

Пример 10.

Условие задачи сформулировано в примере 9.

Решение.

По условию a = 1, b = 2, n = 8.

Таблица 5.2

i
	1,000	0,909297
	1,125	0,609541
	1,250	0,190423
	1,375	-0,253343
	1,500	-0,637879
	1,625	-0,899237
	1,750	-0,999428
	1,875	-0,928932
	2,000	-0,705540

.

Оценим погрешность найденного значения.

Из примера 9:

.

Следовательно, .

Ответ: .

Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции на каждом отрезке разбиения не отрезками прямых, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла .

Предварительно найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы , сбоку – прямыми , и снизу – отрезком . Пусть парабола проходит через три точки , , (рис. 8), где

– ордината параболы в точке ; (5.5)

– ордината параболы в точке ; (5.6)

– ордината параболы в точке . (5.7)

Площадь равна

. (5.8)

Рис. 8.

Из формул (5.5), (5.6) и (5.7) выразим коэффициенты и подставим их в формулу (5.8). В результате получим:

(5.9)

Теперь получим формулу парабол для вычисления интеграла .

Для этого отрезок разобьём на равных частей (отрезков) длиной точками . В точках деления вычисляем значение подынтегральной функции , где (рис. 9).

Рис. 9.

Заменяем каждую пару соседних элементарных трапеций с основаниями, равными , одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным . На отрезке парабола проходит через три точки , , . Используя формулу (5.9) находим площадь параболической трапеции

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, получим:

или

. (5.10)

Погрешность формулы (5.10) оценивается с помощью формулы:

(5.11)

где – наибольшее значение четвертой производной на отрезке .

Пример 11.

Условие задачи сформулировано в примере 9.

Решение.

По условию a = 1, b = 2, n = 8, .

Таблица 5.3

i
	1,000	0,909297	0,909297
	1,0625	0,780377		0,780377
	1,1250	0,609541			0,609541
	1,1875	0,408854		0,408854
	1,250	0,190423			0,190423
	1,3125	-0,033996		-0,033996
	1,3750	-0,253343			-0,253343
	1,4375	-0,457565		-0,457565
	1,500	-0,637879			-0,637879
	1,5625	-0,786985		-0,786985
	1,6250	-0,899237			-0,899237
	1,6875	-0,970745		-0,970745
	1,750	-0,999428			-0,999428
	1,8125	-0,985006		-0,985006
	1,8750	-0,928932			-0,928932
	1,9375	-0,834274		-0,834274
	2,000	-0,705540	-0,705540
		∑	0,203757	-2,879340	-2,918856

.

Оценим погрешность найденного значения. Найдем четвертую производную функции:

,

,

,

.

.

Следовательно, .

Ответ: .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: