Решение нелинейных уравнений

Многие задачи исследования различных объектов с помощью математических моделей, применения их для прогноза или расче­та приводят к необходимости решения нелинейных алгебраических уравнений.

Концепция решения нелинейных уравнений

Всякое уравнение с одной неизвестной может быть записано в виде

. (4.1)

Задача решения уравнения с одним неизвестным представляет собой задачу об отыскании тех значений х, которые обращают уравнение в тождество. Эти значения х называются корнями уравнения (4.1).

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то его корни сравнительно редко удается найти точно. Поэтому важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

Процесс решения нелинейного уравнения осуществляется в два этапа.

1) На первом этапе отделяют корни, т.е. находят такие отрезки , внутри которых нахо­дится строго один корень.

2) На втором этапе уточняют корень, т.е. находят его значение х*с предварительно заданной точностью ε.

Отделение корней

Отделение корней может производиться графически (путём построения графика функции ) или аналитически.

1. При графическом способе уравнение заменяют равносильным ему уравнением

, (4.2)

где функции и – более простые чем функция, . Тогда, построив графики функций и , искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

2. При аналитическом способе критерием того, что на рассматриваемом отрезке имеется единственный корень уравнения, является то, что функция на отрезке должна быть непрерывна и монотонна, а её значения на концах отрезка должны иметь разные знаки.

Следовательно, для отделения действительных корней при аналитическом способе необходимо найти все критические точки функции, т.е. точки, в которых первая производная функции равна нулю или не существует. В этих критических точках или в непосредственной близости от них определяют знак функ­ции . Затем строят ряд знаков функции в критических точках, включая в рассмотрение крайние точки числовой оси -∞ и +∞. Анализируют этот ряд, и по числу смен знаков определяют количество корней и интервалы, где локализованы эти корни. Для этого на левой и на правой границах такого интервала функция должна иметь разные знаки. В случае необходимости можно дополнительно к критическим точкам использовать и произвольные точки, что по­зволяет сузить интервал локализации корня. Особенно это надо делать, когда одна из границ интервала находится в бесконечно­сти, так как интервал хотя бы с одной границей в бесконечности не позволит уточнить корни.

Уточнение корней

Отделение корня дает возможность получить первое (грубое) приближение к корню. Принимая в качестве приближенного значения корня любую точку отрезка , совершаем ошибку, не превосходящую по абсолютной величине длины отрезка . Если требуется найти корень с заданной точностью, а погрешность оказывается больше допустимой, то возникает задача уточнения корня.

Идеи методов уточнения корней можно сгруппировать по трем ос­новным направлениям.

1) в первом – поиск корня с заданной по­грешностью сводится к перебору всех возможных значений аргу­мента с проверкой наличия решения;

2) во втором – поиск корня нелинейной функции заменяется поиском корня той или иной бо­лее простой функции (линейной, параболической), близкой к исходной нелинейной; как правило, процесс осуществляется итерационными процедурами (однотипными, последовательно повторяющимися);

3) в третьем – нелинейное уравнение вида сводят к одной из форм вида и стремятся обеспечить равенство левой и правой частей тоже, как правило, с помощью итерационных методов.

Условием окончания процесса решения уравнения (т.е. получения корня х* с заданной погрешностью) может быть одно из двух возможных:

1) , т.е. близость к нулю левой части уравнения;

2) , т.е. близость друг к другу двух значений х, между которыми находится решение.

Здесь – предварительно заданные величины, – номер итерации,

Наиболее используемыми методами уточнения корней являются:

- метод бисекции (половинного деления);

- метод хорд;

- метод касательных (Ньютона).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: