Основные источники и типы погрешностей

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Вычислительная математика и её роль в современной науке и технике

Под вычислительной математикой обычно понимают совокупность методов точного или приближенного численного решения раз­личных математических задач. Здесь следует особо подчеркнуть значение численного решения, в котором основные результаты должны быть представлены в числовой форме. В традиционных раз­делах классического анализа часто достаточным оказывается получение формулы или уравнения, позволяющих в общем виде выра­зить изучаемые закономерности. Метод решения той или иной за­дачи точно так же может быть сформулирован в общей постановке. При этом в круг интересов исследователя обычно не входит вопрос о реализации этого метода в каждом конкретном случае.

В технике и многих областях науки основным результатом реше­ния задачи является ее численное решение. Независимо от того, производится ли определение напряжений и деформаций в эле­ментах строительной конструкции или машины, скорости движения жидкости или газа в трубопроводе, расхода горючего при движении автомобиля по дороге, температуры в различных точках массива и т. п., специалиста, как правило, интересует решение задачи в числах.

Современная вычислительная математика состоит из многих разделов, важнейшими из которых являются:

- вычисление и интерпо­лирование функций,

- вычислительные методы линейной алгебры,

- численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений,

- численное дифференцирование и интегрирование,

- чис­ленное решение дифференциальных уравнений,

- методы оптимизации, в которых изучаются численные приемы отыскания экстремальных значений функционалов.

Создание и совершенствование быстродействующей вычислительной техники сделало возможным решение многих актуальных и сложных прикладных задач, способ­ствовало тому, что численные методы превратились в область зна­ний, жизненно необходимую для функционирования практически всех областей народного хозяйства.

При применении численных методов решения задач оказываются, как правило, приближенными. Объясняется это во многих случаях тем, что методы точного решения таких задач до настоящего вре­мени неизвестны. Кроме того, даже при применении точного метода довольствуются приближенным решением, в частности, по следующим причинам:

- получение точного решения оказывается очень трудоемким, в то же время приближенное решение при существенно меньшем объекте вычислений оказывается вполне приемлемым по своему характеру;

- точность полученного результата не играет существенной роли, так как в любом случае округляется до целого числа (напри­мер, при определении количества механизмов, необходимого для выполнения данного объема работ);

- приходится удовлетворяться приближенным решением, по­скольку точное решение не может быть получено из-за неизбежных погрешностей возникающих в процессе вычислений.

Следует отметить, что теория погрешностей является одним из основных разделов вычислительной математики.

Элементы теории погрешностей

Основные источники и типы погрешностей

При решении прикладных задач очень важно иметь представ­ление о точности полученных результатов. Погрешности, которые могут быть заключены в таких результатах, порождаются целым рядом причин; некоторые из них встречаются весьма часто. Это неустранимые погрешности, устранимые (погрешности численного метода) и погрешности округления. Рассмотрим каждую из них подробнее.

1. При решении многих задач в качестве исходных принимаются значения величин, полученные из эксперимента. В силу целого ряда причин, в том числе ограниченной точности измерительной аппаратуры и влияния различных случайных факторов, экспери­ментальные данные всегда имеют погрешности того или иного по­рядка. Погрешности могут заключаться и в исходных данных, полученных теоретически. Естественно, что эти погрешности оказывают в той или иной мере влияние на результаты решения задачи, однако никакими мерами в ходе решения такие погрешности устранить нельзя. Поэтому погрешности такого типа часто называют неустранимыми.

2. В случае, когда решить задачу точно не представляется возмож­ным, приходится применять различные приближенные методы. Ре­зультаты решения заведомо содержат погрешности, характер которых зависит от используемого приближенного метода. В этом случае мы имеем погрешности метода, которые являются устранимыми.

3. С погрешностями округления особенно приходится считаться при реализации неустойчивых вычислительных процессов, в которых незначительные погрешности в исходных данных или результатах промежуточных вычислений могут привести к существенным ошиб­кам в конечном результате. Точные значения многих величин практически никогда не могут быть введены в процесс вычислений, например, иррациональных величин , , и др. В этих случаях также неизбежны погреш­ности округления.

Виды погрешностей

Мерой точности приближенного числа является погрешность.

Пусть - точное значение числа, - его приближенное значение.

Под абсолютной погрешностью понимается разность между соответствующим точным значениями рассматриваемой величины и приближенным его значением . Погрешность выражается так:

. (2.1)

Часто знак погрешности неизвестен или не имеет значения. Тогда в рассмотрение вводится абсолютная погрешность приближенного числа

. (2.2)

Относительной погрешностью приближенного значения вели­чины, точное значение которой равно , называется отношение его абсолютной погрешности к модулю точного или приближенного значения, т. е.

; (2.3.)

. (2.4)

Как видно из формул, абсолютная погреш­ность имеет размерность оцениваемых этой погрешностью вели­чин, относительная погрешность всегда безразмерна.

Величины и могут быть вычислены точно лишь в тех случаях, когда известно не только приближенное числовое значение рас­сматриваемой величины, но и ее точное значение. Последнее, однако, возможно далеко не во всех случаях. Кроме того, часто встреча­ются случаи, когда приходится анализировать погрешности неко­торого множества приближенных величин. Поэтому часто в рассмотрение вводятся понятия предельных абсолютной и относительной погрешностей.

В качестве предельной абсолютной погрешности приближен­ного числа может быть принято любое число, не меньшее абсолют­ной погрешности этого числа:

или . (2.5)

Аналогично в качестве предельной относительной погрешности приближенного числа может быть принято всякое число, удов­летворяющее условию

. (2.6)

При анализе серии измерений в качестве значений и при­нимаем наибольшие из полученных соответствующих значений и , и тем самым определяем границы, внутри которых находятся соответствующие погрешности.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: