Метод бисекции (половинного деления)

Метод заключается в том, что отрезок делиться пополам точкой и вычисляется значение функции . Из двух полученных отрезков и выбирается тот, на концах которого функция имеет разные знаки и внутри которого, следовательно, лежит искомый корень.

К недостаткам этого метода можно отнести то, что он требует обычно большого количества вычислений.

Пример 6.

Найти действительный корень уравнения с точностью до ε = 0,01.

Решение.

I этап: Выясним, имеет ли уравнение действительные корни, и если имеет, то сколько. Для этого нужно убедиться в следующем:

1) непрерывна – она действительно непрерывна на .

2) имеет на концах промежутка значения разных знаков.

Представим в виде: , тогда

3) чтобы определить, сколько действительных корней имеет уравнение, нужно выделить промежутки монотонности функции. Для этого найдем и её корни:

.

Они делят промежуток на три промежутка , на каждом из которых может быть только один корень.

На , т.е. на этом промежутке корней нет.

На т.е. на этом промежутке корней нет.

На , т.е. на этом промежутке имеется один действительный корень.

II этап: Требуется отделить этот корень. Вычисляя значения функции в точках , выделим отрезок длиной в единицу, на котором находится корень:

Значит, корень лежит на отрезке .

III этап. Уточним корень методом бисекции (половинного деления).

Найдем . Т.к. проводим вычисления дальше.

, следовательно, необходимо рассмотреть отрезок . Найдем . Т.к. проводим вычисления дальше.

, , следовательно, необходимо рассмотреть отрезок . Найдем . Т.к. проводим вычисления дальше.

, , следовательно, необходимо рассмотреть отрезок . Найдем . Т.к. проводим вычисления дальше.

, , следовательно, необходимо рассмотреть отрезок . Найдем . Т.к. проводим вычисления дальше.

, , следовательно, необходимо рассмотреть отрезок . Найдем . Т.к. проводим вычисления дальше.

, , следовательно, необходимо рассмотреть отрезок . Найдем . Т.к. проводим вычисления дальше.

, , следовательно, необходимо рассмотреть отрезок . Найдем . Т.к. , следовательно, корень уравнения равен

Ответ:

Метод хорд

Метод хорд состоит в том, что в качестве приближенного значения корня выбирают точку пересечения с осью Ох хорды, соединяющей концы дуги графика функции на отрезке (рис. 4).

Рис. 4.

Получим формулу для вычисления с, если известны .

Уравнение хорды АВ запишем в виде:

,

откуда получаем для точки её пересечения с осью Ох (точка ):

или

. (4.3)

Из двух полученных отрезков и выбирается тот, на концах которого функция имеет разные знаки.

Применяя метод хорд, мы приближаемся к корню только с одной стороны, один из концов отрезка остается неподвижным.

Если , то неподвижным остается левый конец, а формула (4.3) принимает следующий вид:

. (4.4)

Если , то неподвижным остается правый конец, а формула для вычисления выглядит следующим образом:

. (4.5)

Пример 7.

Условие задачи сформулировано в примере 6.

Решение.

I и II этапы: разобраны в примере 6.

III этап. Уточним корень методом хорд.

Найдем вторую производную функции : , . На отрезке , а , следовательно, неподвижным останется правый конец. И в этом случае применим формулу (4.5):

,

где , .

Таблица 4.1

	1,000	-1,000
	1,167	-0,579
	1,253	-0,285
	1,293	-0,130
	1,311	-0,057
	1,319	-0,024
	1,322	-0,010
	1,324	-0,004
	1,324	-0,002
	1,325	-0,001
	1,325	0,000

Ответ:

Метод касательных (Ньютона)

Метод касательных состоит в том, что в качестве приближенного значения корня выбирают – точку пересечения с осью Ох касательной, проведенной к одному из концов графика функции на отрезке (рис. 5).

Чтобы точка с находилась на отрезке , касательную следует провести через тот конец графика функции, в котором совпадает знак самой функции и её второй производной, т.е. .

Например, при изображении кривой на рис. 5 касательную следует проводить в точке В, т.к. в ней и , а следовательно . Если же провести касательную в точке А, то точка её пересечения с осью Ох окажется за пределами отрезка .

Рис. 5.

Уравнение касательной к кривой в точке В:

.

Полагая , находим

. (4.6)

Из двух полученных отрезков и выбирается тот, на концах которого функция имеет разные знаки.

Пример 8.

Условие задачи сформулировано в примере 6.

Решение.

I и II этапы: разобраны в примере 6.

III этап. Уточним корень методом касательных.

Из предыдущей задачи известно, что на отрезке , а , следовательно, за начальное приближение необходимо приять . В этом случае формула (4.6) примет вид:

.

Таблица 4.2

	1,000	-1,000	2,000
	1,500	0,875	5,750
	1,348	0,101	4,450
	1,325	0,002	4,268
	1,325	0,000	4,265

Ответ:

Численное интегрирование

Вычисление интегралов встречается при моделировании достаточно часто. Численные методы обычно применяются при взятии неберущихся интегралов от достаточно сложных функций, которые предварительно табулируются, или интегрирования таблично заданных функций.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: