Запись приближенных чисел

Значащей цифрой числа называется всякая входящая в его десятичное изображение цифра, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или выра­жает десятичный разряд, который должен быть сохранен в изображении числа.

По умолчанию принято записывать в числах только верные знаки, так, чтобы по записи числа в них можно было определить его погрешность.

Цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы последнего разряда. Например, в случае 2,145±0,0008 все цифры верные.

Цифра называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины разряда, которому принадлежит цифра . Это выполнимо в случае 2,145±0,0004.

В процессе вычисления мы должны оставлять верные цифры, все остальные отбрасывать по правилу округления.

Например, если задано число 5,198757, то в случае погрешности ±0,00000004 его следует записать в виде 5,1987570, а случае погрешности, равной ±0,000006, следует вначале округлить погрешность (получим 0,000006»0,00001), а затем правильно записать само число 5,1988.

Округление чисел

Применяют один из трех способов округления: по недостатку, по избытку и с поправкой. При округлении число разрядов опре­деляется слева направо, начиная с разряда, содержащего первую слева значащую цифру.

При округлении по не­достатку положительного числа до -ого разряда сохраняют неизменными все цифры в разрядах слева на­право вплоть до -ого разряда включительно, а остальные цифры отбрасывают. При округлении отрицательного числа до -ого разря­да по недостатку цифры во всех разрядах, начиная с -ого, отбрасывают, а из оставшегося числа вычитают единицу в -ом разряде.

При округлении по избытку до -ого разряда положительного числа все разряды, начиная с -ого, отбрасывают, а к остав­шемуся числу прибавляют единицу в -омразряде. У отрицатель­ного числа отбрасывают цифры во всех разрядах, начиная с -ого, цифры в первых разрядах сохраняют неизменными.

При округлении с поправкой до -ого разряда положительного числа придерживаются следующего правила: цифры во всех разря­дах, начиная с -ого, отбрасывают и к оставшемуся числу прибавляют единицу в -омразряде, если цифра в -ом разряде больше или равна 5, если же эта цифра меньше 5, то цифры в раз­рядах от первого до -ого сохраняют неизменными.

При округлении с поправкой до -ого разряда отрицательного числа цифры во всех разрядах, начиная с -ого, отбрасывают, а в первых разрядах сохраняют неизменными, если цифра в -омразряде меньше 5. Если эта цифра равна или больше 5, то цифры во всех разрядах, начиная с -ого, отбрасывают, а из оставшегося -разрядного числа вычитают единицу в -ом раз­ряде.

Например, при округлении с поправкой числа 25,1879 до четвер­того разряда отбрасываем цифры 7 и 9 соответственно в пятом и шес­том разрядах, а к оставшемуся числу 25,18 прибавляем единицу в четвертом разряде, т. е. число 0,01. Таким образом, округленное с поправкой до четвертого разряда число 25,1879 выражается числом 25,19.

Таблица 2.1

При применении правила округления с поправкой абсолютная погрешность числа не превышает половины единицы десятичного разряда, выражаемого последней оставляемой значащей цифрой.

Приведем теоремы, применяемые для оценки погрешностей результатов арифметических действий:

Теорема 1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

Теорема 2. При сложении приближенных величин одного и того же знака относительная погрешность суммы выражается величиной, заключенной между наибольшей и наименьшей относи тельными погрешностями слагаемых.

Теорема 3. Предельная абсолютная погрешность разности рав­на сумме предельных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Теорема 4. Относительная погрешность произведения не­скольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

Теорема 5. Относительная погрешность частного не превы­шает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.

Пользуясь данными теоремами, рассмотрим несколько при­меров.

Пример 1.

Найти сумму трех чисел , где , , и оценить ее погрешность, если все приведенные в изображении этих чисел цифры являются верными

Решение.

Абсолютные погрешности чисел , , удовлетворяют условиям

; ; .

Вычислим сумму максимально возможных значений абсолютных погрешностей:

.

В соответствии с теоремой 1 абсолютная погрешность числа удовлет­воряет условию:

.

В качестве предельной абсолютной погрешности может быть принята вели­чина .

Пусть известны относительные погрешности слагаемых , , . Тогда в соответствии с теоремой 2 относительная погрешность суммы удовлетворяет условию

.

Пример 2.

Найти предельную абсолютную погрешность числа , если в числах , верными являются соответственно первые три и четыре цифры.

Решение.

Абсолютные погрешности чисел и удовлетворяют условиям

; .

В качестве предельных абсолютных погрешностей примем ; .

Тогда в соответствии с теоремой 3 предельная абсолютная погрешность числа выражается суммой

.

Пример 3.

Оценить относительную погрешность числа в случае, когда относительные погрешности приближенных чисел , , , соответ­ственно равны , , , .

Решение.

Из теоремы 4 следует, что относительная погрешность произведения не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел, т.е.

На основании теоремы 5 искомая величина не превышает суммы относи­тельных погрешностей делимого - произведения и делителя - числа . Таким образом,

ИНТЕРПОЛяция

Основная задача интерполяции – нахождение значения таблично заданных функций в тех точках внутри данного интервала, где она не задана.

Экстраполяция – восстановление функции за пределами заданного интервала.

Концепция интерполяции

Решение задач интерполяции и экстраполяции обеспечивается построением интерполяционной функции , приближённо заменяющей исходную , заданную таблично, и проходящей через все заданные точки – узлы интерполяции. С помощью этой функции можно рассчитать искомое значение исходной функции в любой точке.

Пусть заданы значения функции в точках , где . Требуется подобрать такую функцию , чтобы значения этой функции в точках равнялись значению функции в этих точках: , а между этими точками отклонение было наименьшим.

Функция называется интерполирующей по отношению к функции , а точки - узлами интерполирования.

Различают следующие виды интерполирования функции , рассматриваемой на отрезке :

1. Локальное (или кусочное) интерполирование. В этом случае интерполирующая функция определена только на отрезке .

2. Глобальное интерполирование – в случае, когда интерполирующая функция определена на всем отрезке .

В связи с интерполяцией рассматривают три основные проблемы:

1) выбор интерполяционной функции ;

2) оценка погрешности интерполяции ;

3) размещение узлов интерполяции для обеспечения наивысшей возможной точности восстановления функции.

Метод Лагранжа

Пусть задана функция , на отрезке точками . Требуется подобрать многочлен , порядка не выше таким образом, чтобы его значения в точках равнялись значениям самой функции в этих точках, т.е , а между ними отклонения были наименьшими.

Для удобства этот многочлен будем искать в виде линейной комбинации многочленов:

, (3.1)

где - многочлены следующего вида:

и т.д.

При этом , и т.д., а в остальных точках эти многочлены равны нулю.

Подставив эти многочлены в формулу (3.1.), получим многочлен, называемый полиномом Лагранжа:

. (3.2.)

Погрешность полинома Лагранжа оценивается по формуле

, (3.3)

где – наибольшее значение -ой производной на отрезке .

Пример 4. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции , имеющей следующие значения:

Таблица 3.1

Построить график полученного многочлена.

Решение.

В соответствии с заданной таблицей в качестве узлов интерполя­ции примем , , , и . Составляем многочлен Лагранжа

.

График полученного полинома Лагранжа представлен на рисунке 1.

Рис. 1. График функции .

Метод сплайнов

В ряде случаев возникает задача восстановления не только значений функции, но также её первой и второй производной. Это, конечно, можно сделать получив и продифференцировав интерполяционный полином. Но такой случай дает низкую точность восстановления производных. Для решения указанного класса задач применяется сплайновая интерполяция.

Для достижения более высокой точности интерполирования функций и их производных применяют сплайны более высоких порядков. Наиболее широкое применение в настоя­щее время получил кубический сплайн.

Сплайн – способ аппроксимации[1] функции, заданной таблично с помощью набора кусочно-полиномных зависимостей. Исторически понятие сплайна[2] связывают с гибкой линейкой, применяемой в чертежных работах. Из курса механики деформируемых стержней известно уравнение изгиба упругого стержня:

где – модуль упругости, – момент инерции поперечного сечения, – функция прогиба, – распределенная нагрузка. В случае отсутствия нагрузки получаем однородное уравнение

имеющее решение, представляемое кубическим полиномом:

– постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

Иными словами, гибкая линейка, помещенная на плоскости, плавно изогнется так, что её форму между любыми двумя соседними точками можно описать кубической параболой.

Кубический сплайн

Пусть на отрезке известны табличные значения функции в точках – узлах интерполирования.

Потребуем, чтобы сплайн удовлетворял следующим условия:

а) на каждом сегменте является полиномом третьей степени;

б) совпадает со значениями аппроксимирующей функции в узлах интерполирования;

в) непрерывен вместе со своей первой и второй производными;

г) выполняются краевые условия .

Сплайн на каждом сегменте отрезка строится в виде (выполнение условия а)):

. (3.4)

Для всего интервала будет соответственно п кубических по­линомов, отличающихся коэффициентами , , , , где - номер сплайна.

Наглядная структура сплайна представлена на рисунке 2.

Рис. 2. Расположение узлов и звеньев кубического сплайна.

Коэффициенты определяются из следующих условий:

- равенство значений сплайнов и аппроксимируемой функции в узлах (выполнение условия б): ;

- условие гладкой стыковки звеньев сплайна (выполнение условия в)): ;

- краевые условия (выполнение условия г)): .

Подставляя в условия выражения сплайна и его производных и , и, полагая

для краткости , получаем детализированную систему связей:

Будем исключать из системы неизвестные , , и сводить всё к решению системы относительно неизвестных . Кроме того, введем эффективный коэффициент .

Подставляя значения (3.6) в равенства (3.5) и (3.7), получим выражение

, при (3.12)

Из (3.9) и (3.10), учитывая выразим через :

при (3.13)

С помощью формулы (3.13) избавимся от в формуле (3.12). Получим выражение коэффициентов и через :

(3.14)

После подстановки данных формул в выражение (3.8) детализированной системы, получим выражение, в котором неизвестны только коэффициенты :

, , .

(3.15)

Получаем замкнутую систему, решаемую методом прогонки. Применение этого метода сводится к вычислению прогоночных коэффициентов по формулам прямой прогонки, затем получение искомых коэффициентов сплайна обратной прогонкой.

Для сокращения записи представим формулу (3.15) в виде

, (3.16)

где коэффициенты и вычисляем по формулам:

(3.17)

(3.18)

при .

В процессе прямого хода прогонки вычисляем прогоночные коэффициенты:

, (3.19)

(3.20)

(3.21)

. (3.22)

На обратном ходе имеем

, (3.23)

полагая в ней и учитывая . Затем по формуле (3.14) вычисляем коэффициенты , и записываем кубический сплайн.

Для восстановления производных можно продифференциро­вать на каждом участке соответствующий кубический полином. В случае необходимости определения производных в узлах суще­ствуют специальные приемы, сводящие определение производ­ных к решению более простой системы уравнений относительно искомых производных второго или первого порядка. К важным достоинствам интерполяции кубическими сплайнами относится получение функции, имеющей минимальную возможную кривизну.

К недостаткам сплайновой интерполяции относится необхо­димость получения сравнительно большого числа параметров.

Пример 5.

Построить кубический интерполирующий сплайн для функции .

Таблица 3.2

		0,5		1,5		2,5

Найдем значения , , и .

Таблица 3.3

	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5
	¾
	¾	-24		-24		¾

Вычислим прогоночные коэффициенты и методом прямой прогонки.

Таблица 3.4

	-0,25	0,27	0,23	0,24	0,24
		-15,20	17,62	-15,51	3,66

На обратном ходе найдем коэффициенты , используя формулу (3.23), полагая в ней и учитывая .

Таблица 3.5

		11,39	-9,58	21,05	-14,64	3,66

Найдем коэффициенты и , используя формулы (3.14) и учитывая :

Таблица 3.6

	1,79	2,71	1,41	4,63	-3,22	-1,39
	7,59	-13,98	20,42	-23,79	12,20	-2,44

Получаем кубический интерполирующий сплайн, график которого представлен на рисунке 3:

Рис.3. График кубического интерполирующего сплайна.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: