Метод регуляризации А.Н.Тихонова

Стремление избавиться от произвольных факторов и определить общие методы решения некорректных задач привело к разработке новых подходов к их решению [27-34]. Фундаментальное значение для новых подходов имеют понятия регуляризации решения и регуляризирующего оператора, введенные А. Н. Тихоновым [4].

Под регуляризацией решения по Тихонову понимается построение семейства обратных операторов, зависящего от некоторого числового параметра , называемого параметром регуляризации. Каждый оператор семейства дает решение корректной задачи, причем при согласованном стремлении к нулю параметра и ошибки исходных данных решение корректной задачи стремится к истинному решению соответствующей некорректной задачи.

Иначе говоря, если в некорректной задаче K = f вместо точной правой части мы имеем элемент , для которого ( – погрешность исходных данных ), то элемент по Тихонову можно определить с помощью оператора, зависящего от параметра , значения которого надо брать согласованными с погрешностью исходных данных . Эта согласованность должна быть такой, чтобы при приближении правой части к точному значению , т.е. при , приближенное решение стремилось бы к точному решению (а метрике пространства Φ).

Оператор , зависящий от параметра , называется регуляризирующим для уравнения K = f, если он обладает следующими свойствами:

оператор определен для всякого и любого и непрерывен по f ;

существует такая функция от , , и для любого существует такое число , что если , то , где .

Задача получения приближенного решения уравнения K = f, устойчивого к малым изменениям правой части, в методе регуляризации А.Н.Тихонова сводится, во-первых, к нахождению регуляризирующих операторов и, во-вторых, к определению параметра регуляризации по дополнительной информации о задаче. Строго говоря, регуляризация подменяет исходную задачу другой. Нужно, чтобы регуляризация, не меняя физического содержания задачи, только избавляла нас от ее вычислительной неустойчивости. Другими словами, введение априорной информации позволяет значительно сузить область допустимых решений. Разным видам априорной информации соответствуют разные способы регуляризации.

Главной особенностью метода регуляризации А.Н.Тихонова, отличающей его от других общих методов решения некорректно поставленных задач [29, 30, 32], является его применимость в ситуации, когда класс Φ возможных решений уравнения K =f не является компактом. Эта ситуация как раз характерна для задач восстановления сигналов, в которых обратный оператор основного уравнения заведомо не является непрерывным.

Способ построения регуляризирующих операторов в методе А.Н.Тихонова основан на вариационном принципе и состоит в следующем [35]. Пусть – некоторый неотрицательный функционал, определенный на подмножестве Φ₁ множества Φ и такой, что для всякого числа множество Φ_1,с элементов из Φ₁, для которых , является компактом на Φ₁. Функционалы , обладающие такими свойствами, называются стабилизирующими функционалами. Вполне понятно, что выбор функционала неоднозначен.

Пусть далее известно, что Φ₁ и уклонение правой части от точного значения не превосходит , т.е. (K , ) . Тогда приближенное решение естественно искать в классе элементов , для которых (K , ) . Но класс возможных решений слишком широкий. Его надо сузить, используя какой-то способ отбора возможных решений, обеспечивающий получение в качестве приближенного решения такого элемента (или элементов) из , который непрерывно зависел бы от . В качестве такого принципа и берется вариационный принцип.

С целью сужения класса возможных решений рассматриваются только такие элементы множества , на которых определен заданный функционал , т.е. рассматриваются лишь элементы, принадлежащие множеству . Среди элементов этого множества находят такой (такие), который минимизирует функционал . Нахождение такого элемента – задача на условный экстремум. Решение ее методом неопределенных множителей Лагранжа сводится к поиску минимума функционала

(K , )+ , (2.21)

где числовой параметр определяется из условия (K , ) , в котором – элемент, на котором функционал (4.1) достигает минимума. Функционал также называется функционалом Тихонова.

Элемент можно рассматривать как результат применения к правой части исходного уравнения некоторого оператора , зависящего от параметра , т.е. . Доказано [4], что оператор является регуляризирующим и, следовательно, в качестве приближенного решения уравнения K =f с правой частью можно взять элемент .

Таким образом, в качестве приближенного решения исходной задачи берется решение другой задачи (задачи на минимум функционала ), близкой к исходной при малых значениях погрешности задания правой части . В то время как исходная задача не обладает устойчивостью к малым изменениям «входных данных» , задача минимизации функционала обладает этим свойством. Устойчивость достигнута сужением класса возможных решений с помощью введения в рассмотрение функционала , играющего стабилизирующую роль. Поэтому функционалы называют стабилизаторами задачи.

В качестве стабилизатора можно взять

, (2.22)

где – заданные неотрицательные функции.

Функционалы вида (2.22) называются стабилизаторами p-го порядка. Функционалы этого вида по существу характеризуют «гладкость» функции . Следовательно, используя их при поиске минимума выражения (1.4.1), мы стремимся выбрать из множества функций , удовлетворяющих условию (K , ) , некоторую «самую гладкую» функцию (во всяком случае, более гладкую, чем решение без регуляризации). Различным критериям гладкости, позволяющим сравнивать функции рассматриваемого множества, отвечают различные функционалы (2.22), образуемые при различных p. Степень «сглаживания» решения регулируется параметром .

Перейдем теперь к применению метода регуляризации для решения основного интегрального уравнения :

,

полагая, что восстанавливаемый сигнал непрерывен на , а . Воспользуемся для простоты выкладок стабилизатором 1-го порядка

.

Тогда регуляризованное решение должно минимизировать функционал

. (2.23)

При использовании матричной формы записи уравнений регуляризованное решение удается получить в явном виде. Функционал (2.23) можно записать в следующем виде:

(К - )^Т(К - )+ ^Т( + ) (2.24)

где и – векторы, полученные дискретизацией наблюдаемой функции и восстанавливаемого сигнала на сетках с шагом и соответственно; К – матрица отсчетов весовой функции в опорных точках; I – единичная матрица; – ленточная квадратная матрица, , где матрица – матрица численного дифференцирования [6, с.95]

(2.25)

«производная вперед», или [5, с.22] «производная назад»:

Для того, чтобы найти вектор , минимизирующий функционал (2.24), вычислим градиент этого функционала по , пользуясь следующими формулами векторного дифференцирования [36]:

Приравняем градиент нулю, положим = =1 и получим выражение для . Таким образом найдем регуляризованное решение в явном виде:

. (2.26)

Это решение отвечает случаю применения тихоновских стабилизаторов 1-го порядка. Как это следует из (2.26), точность решения зависит от параметра регуляризации . Поэтому ясно, что процедура определения этого параметра является центральной в регуляризирующих схемах получения приближенных решений.

Существует много способов выбора параметра , позволяющего заметно улучшить сходимость регуляризованного решения к истинному решению . Одним из наиболее эффективных и хорошо изученных методов является метод невязки, предложенный Филлипсом [31] и Канторовичем [37]. Практически все методы, определяющие , в том числе [3,38,39] и все они зависят от той информации, которая имеется относительно приближенных входных данных, например, если известен шум в исходных данных ( – случайный стационарный процесс с нулевым средним: , и ковариационной матрицей ), то параметр регуляризации при допонительном условии, что оператор является регуляризирующим, можно определить по невязке (K , ) . На практике это делается методом проб и ошибок. Например, если мы знаем приближенное значение е функционала , характеризующего степень гладкости восстанавливаемого сигнала (формула (1.4.2) при р=0), то хорошей оценкой служит величина, обратная е [40]. Эффективность того или иного способа определения величины обычно устанавливается с помощью вычислительного эксперимента.

Метод регуляризации А.Н.Тихонова требует минимума априорной информации о задаче. Практически используется лишь информация о характере гладкости решения и о том, что восстанавливаемая функция задана на отрезке . Дополнительная информация, если она имеется, может быть использована для определения конкретного значения параметра регуляризации .

Метод регуляризации А.Н.Тихонова хорошо зарекомендовал себя при решении самых разных некорректных задач, в том числе и задач восстановления сигналов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: