Методы решения задачи восстановления сигналов

Первая попытка решения конкретной задачи восстановления сигналов была предпринята еще лордом Рэлеем в 1871 году для устранения искажений, вносимых щелевой аппаратной функцией, в спектроскопии. С тех пор было опубликовано большое количество работ, в которых конкретные задачи восстановления сигналов различной физической природы обычно рассматривались без учета их некорректности (обзор по этому поводу [23]). Несмотря на это, многие из предложенных методов нашли практическое применение и для их реализации создавались даже специализированные вычислительные устройства [23].

Подобные методы основаны на классических способах решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода в предположении абсолютно точных измерений правой части. Различные ранние методы восстановления, имеющиеся в литературе, допускают следующую классификацию:

аппроксимативные методы, основанные на задании или аппроксимации сигнала и весовой функции с помощью «простых» функций, позволяющих вычислить либо в явном виде, либо в виде некоторого ряда;

итерационные методы, предполагающие вычисление путем последовательного определения поправок к наблюдаемой функции ;

алгебраические методы, предусматривающие сведение основного интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений и последующее ее решение.

Приведенная классификация, естественно, условна, так как многие практические методы можно одновременно отнести к различным классам, и используется только для удобства систематизации различных методов.

Характерной особенностью аппроксимативных методов является описание исходных кривых простыми выражениями, зависящими не более чем от двух параметров, так как попытки введения большего их числа значительно усложняют расчеты. Вместе с тем, эти методы задания исходных функций в виде простых выражений во многих случаях оказываются недостаточными. В связи с этим развиты более гибкие методы аппроксимации, не связанные с конкретным видом наблюдаемой и весовой функций.

Наиболее общим из таких методов можно считать метод неопределенных коэффициентов, сущность которого состоит в разложении искомой функции в ряд по некоторой полной системе функций.

Среди всевозможных способов разложения искомой функции в ряд особый интерес для задач восстановления сигналов представляет разложение по системе собственных функций ядра интегрального уравнения. Во-первых, собственные функции , соответствующие различным собственным значениям симметричного ядра , ортогональны. При этом возможность разложения в ряд по собственным функциям ядра, как это показано в предыдущей главе, гарантирует существование решения. Во-вторых, ряды по собственным функциям вообще являются более общими, чем, например, степенные ряды: с их помощью можно представлять и неаналитические функции, в частности функции, имеющие на интервале конечное число точек разрыва. Наконец, в-третьих, такое разложение позволяет получить простой способ решения и легко представить себе смысл процесса восстановления сигнала (в [6,с. 39] показано, что процесс восстановления сигнала в отсутствие шума можно рассматривать как деление -го коэффициента разложения наблюдаемой функции на ).

В целом с ростом числа членов разложения накапливаются случайные погрешности восстановления. Следовательно, уменьшение систематических искажений, вносимых прибором, достигается за счет увеличения случайных ошибок в восстановленном сигнале по сравнению с наблюдаемым откликом.

В ранних работах по восстановлению сигналов из-за вычислительных трудностей нельзя было использовать большое число членов разложения сигнала. Обычно ограничивались несколькими членами. При этом влияние случайных ошибок оказывалось незначительным, и даже сам факт некорректности задачи иногда оставался исследователям неизвестным.

Итерационными методами (методами последовательных приближений) называют такие методы решения математических задач, в которых по известному приближению находится решение следующего, более точного приближения. Простейший итерационный алгоритм состоит в преобразовании решения в решение при помощи поправок, вычисляемых разложением в некоторый ряд.

Основной вопрос применения итерационных методов – сходимость итераций. Хотя в каждой конкретной задаче этот вопрос приходится решать отдельно из-за некорректности рассматриваемого класса задач, для некоторых типов ядер существуют общие положения о сходимости последовательных приближений.

Так, к примеру, возьмем – симметричное, положительно определенное ядро, принадлежащее (причем ), и пусть уравнение

(2.17)

однозначно разрешимо. Тогда последовательность , определяемая рекуррентным соотношением

, (2.18)

где

;

;

и – наибольшее собственное значение ядра , сходится в среднем к решению уравнения (2.17) [6,с. 44].

За начальное (нулевое) приближение не обязательно брать саму наблюдаемую функцию. В качестве начального приближения можно, например, взять решение некоторого близкого уравнения с близкой правой частью, для которого решение известно заранее.

До некоторых пор итерационные методы рассматривались без учета некорректности задачи. Как это неоднократно отмечалось, вследствие неизбежных ошибок измерения наблюдаемой функции решение, полученное обычным для классического анализа образом, будет неустойчивым. Применительно к итерационным методам это проявляется в том, что хотя начальные поправки оказываются относительно малыми, если нулевым приближением является достаточно гладкая функция , в дальнейшем поправки быстро растут, обнаруживая все более резкие колебания. Восстановленный сигнал уже не будет иметь гладкую форму из-за присутствия помех в .

Даже если соответствующий ряд сходится, наличие случайных помех не позволяет достичь правильного решения при увеличении числа приближений.

При решении обратных задач численными методами широко пользуются сведением основного интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений:

(2.18)

где , и – значения соответственно весовой функции, входного сигнала и отклика в опорных (отсчетных) точках либо коэффициенты их разложения по ортогональной системе функций.

Способ составления системы уравнений вида (1.3.3) при использовании этих методов очевиден. Алгебраизация задачи с помощью взятия отсчетных значений функций , , и также понятна: промежуток изменения переменной в уравнении

=

разбивают на частей, а промежуток изменения переменной – на частей и рассматривают отсчеты и функций и соответственно. Если частота отсчетов достаточно велика (например, выбрана исходя из теоремы Котельникова), то задание последовательности отсчетных значений эквивалентно заданию самой функции. Дискретизация весовой функции проводится аналогично. Из самого определения весовой функции следует, что ее отсчетные значения представляют собой весовые коэффициенты, при помощи которых значения в данной точке вычисляются как «взвешенная» сумма значений в этой и в соседних точках. Следует отметить, что в практических задачах восстановления сигналов протяженность весовой функции обычно много меньше протяженности сигнала и отклика. Поэтому в каждом из уравнений системы (1.3.3) большинство величин равно нулю. Пожалуй, лишь в задачах восстановления речевых и сейсмических сигналов это наверно, так как в них весовая функция среды соизмерима по длительности с сигналом и откликом [6, с. 53].

Систему уравнений (1.3.3) удобно представить в виде одного матричного уравнения:

, (2.19)

где – матрица коэффициентов , – искомый вектор с координатами , – известный вектор с координатами . Для того, чтобы это уравнение решать классическими методами линейной алгебры, обычно стремятся провести дискретизацию функций так, чтобы . Тогда матрица – квадратная, и если ее определитель не равен нулю ( – невырожденная), то уравнение (2.19) имеет единственное решение

, (2.20)

где – обратная матрица, такая, что ( – единичная матрица).

Таким образом, для решения системы линейных уравнений при достаточно найти обратную матрицу системы. При число неизвестных превышает количество уравнений. Если и матрица имеет ранг , то решение может быть найдено по методу наименьших квадратов, согласно которому минимизируется норма вектора невязки [24].

Вообще алгебраические методы можно разделить на прямые и итерационные. Важнейшим из прямых методов решения системы линейных алгебраических уравнений считается метод Гаусса [25]. Для решения систем уравнений высокого порядка вместо гауссовых схем, дающих «точное» решение, часто удобнее использовать приближенные, итерационные методы, которые в целом несколько экономичнее прямых методов. Их достоинством является простота вычислительных процедур и возможность проведения вычислений с помощью корректирующихся процессов. Отдельная ошибка в вычислениях у таких процессов не отражается на окончательном результате. Кроме того, преимуществом итерационных методов является то, что одновременно решается только одно уравнение. Из итерационных методов широкое применение нашли метод простой итерации, метод Гаусса – Зейделя и их разновидности. Следует отметить, что для решения задач восстановления сигналов могут оказаться полезными и другие итерационные методы, такие, как метод скорейшего спуска, метод минимальных невязок, метод Галеркина и др. Детальное исследование итерационных методов решения систем линейных уравнений приведено в [26].

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: