Методы оценки частных критериев

В процессе проектирования ЖЦИ разработчик на основе анализа множества альтернативных вариантов проектных решений должен принять решение по выбору оптимального варианта проектируемого объекта на основе выбранных критериев. При существовании одного частного критерия принятие решения производится однозначно, путём сравнения значений данного критерия для различных альтернативных вариантов.

В многокритериальных задачах оптимального проектирования возникает необходимость объективной оценки важности частных критериев, включаемых в аддитивный, мультипликативный или минимаксный критерий оптимальности. Оценивают важность частных критериев F_i(X), i=1:n, с помощью весовых коэффициентов c_i, которые должны количественно отражать важность соответствующих частных критериев. Значения c_i выбирают исходя из анализа современного мирового уровня развития данной отрасли, из требований к проектируемому объекту и из существующих возможностей реализации этих требований. Открытие новых физических принципов и разработка новых методов проектирования могут существенно влиять на значения весовых коэффициентов.

Рассмотрим основные подходы к решению задачи выработки предпочтения на множестве частных критериев.

Экспертные оценки

В теории экспертных оценок разработан ряд методов проведения экспертизы. Наиболее эффективными в проводимых исследованиях оказались методы ранжирования и приписывания баллов.

Метод ранжирования заключается в следующем. Пусть экспертиза проводится группой из l экспертов, которые являются квалифицированными специалистами в той области, где принимается решение. Метод ранжирования основан на том, что каждого эксперта просят расставить частные критерии F_i(X), i=1:n проектируемого объекта в порядке их важности. При этом цифрой 1 обозначают наиболее важный частный критерий (параметр), цифрой 2 – следующий по степени важности частный критерий и т. д. Эти ранги преобразовывают таким образом, что ранг 1 получает оценку п, ранг 2 – оценку (п—1) и т. д. до ранга п, которому присваивается оценка 1, где п – число частных критериев. Зная преобразованный ранг i-гo критерия у k-го эксперта (k=1:l), весовые коэффициенты определяют из следующего соотношения:

. (1.12)

Метод приписывания баллов основан на том, что эксперты оценивают важность частного критерия по шкале 0 – 10. При этом разрешается оценивать важность критерия дробными величинами или приписывать одну и ту же величину из выбранной шкалы нескольким критериям. Зная балл i-гo критерия у k-го эксперта, весовые коэффициенты c_i можно найти из (1.12), заменив в нем на

Последний называют весом, подсчитанным для i-го частного критерия F_i(X), на основе оценок k-го эксперта.

Важное место занимает обработка результатов экспертных оценок. Если рассматривать результаты оценок каждого из экспертов как реализации некоторой случайной величины, то к ним можно применять методы математической статистики.

В общем случае при определении степени важности частного критерияF_i(X), получают набор оценок , подлежащих статистической обработке. Среднее значение оценки

,

где – коэффициент авторитета k-гo эксперта 0≤µ≤1.

Среднее значение оценки r_i выражает коллективное мнение группы экспертов. Степень согласованности мнений экспертов характеризуется величиной

называемой дисперсией экспертных оценок. Ясно, что чем меньше величины дисперсии, тем с большей уверенностью можно опираться на найденное значение r_i оценки степени важности частного критерия F_i(X). Надежность экспертизы тем выше, чем меньшую долю среднего значения составляет среднеквадратический разброс оценок. Поэтому в качестве меры надежности приведенной экспертизы часто принимают β = σ/r_i и называют вариацией.

По среднему значению оценки r_i определяются весовые коэффициенты:

Статистическая обработка результатов экспертных оценок подобна статистической обработке результатов измерений. На достоверность экспертизы существенно влияют такие факторы, как численный состав экспертной группы, уровень компетентности экспертов, состав вопросов, предъявляемых экспертам, и т. д.

Индивидуальные экспертные оценки также носят на себе печать случайности: на суждения эксперта влияют не только такие стабильные факторы, как его знания и опыт, но и множество случайных факторов (настроение, самочувствие, обстановка и т. п.).

Каждому значению вектора параметров проектирования Х_k,соответствует альтернативный вариант S_k проектируемого объекта, качество (или эффективность) которого может быть оценено различными способами, и в частности в виде аддитивного критерия

(1.13)

где – нормированное значение i-го частного критерия для варианта S_k.

Для определения значений построим матрицу параметров i=1:n, j=1:m множества альтернативных вариантов. В матрице θ вектор-строка описывает вариант проектируемого объекта. Для перехода от к при фиксированном векторе переменных проектирования Х_k введём совокупность директивных значений параметров , устанавливаемых в ТЗ на проектирование. Тогда нормированные (относительные) значения параметров определяются как

(1.14)

Определим в матрице θ величины – экстремальные (наилучшие) значения всех параметров. Очевидно, что идеальный вариант объекта S_идолжен описываться всеми , i =1: n.

Для оценки степени важности каждого параметра (или каждого нормированного значения параметра вводится система весов c=(с₁,..,с_n), которая должна отражать усилия, необходимые для достижения экстремальных значении параметров (увеличить значения таких параметров, как производительность, надёжность, и другие, или уменьшить значения массогабаритных, стоимостных, энергетических параметров). Правильный выбор системы весов открывает возможность целенаправленно воздействовать на улучшение тех или иных параметров объекта путём увеличения соответствующих весов с_i.

В основу выбора системы весов положим принцип ограниченности общих затрат, необходимых для создания объекта. Это означает, что увеличение затрат на улучшение одних параметров неизбежно вызывает уменьшение затрат на улучшение других параметров.

Методика формального определения весовых коэффициентов базируется на выполнении последовательности процедур выработки предпочтения среди каждой пары показателей и .

Обозначим через значение показателя в варианте объекта, в котором максимальные затраты сосредоточены на увеличении показателя , а через наилучшее значение показателя во множестве альтернативных вариантов S, т. е.

,

где значение показателя в варианте S^j, для которого .

Величину с_i можно записать

где будут тем больше, чём большее значение придается показателю f_i и чем сильнее сказывается на снижении этого показате­ля сосредоточение усилий на показателе .

Следовательно, величины могут рассматриваться как относительные веса, показывающие относительное превосходство (доминирование) показателя над .

Для определения весовых коэффициентов применим следующий подход.

В нулевом приближении веса всех показателей принимаются одинаковыми и равными . Далее, если определены веса r-го порядка, то переход к весам r+1-го порядка будем осуществлять по формуле

,

согласно которой веса первого, второго и т. д. порядков будут

Данный процесс довольно быстро приводит к установившейся системе весов, не зависящих от последующих итераций и от величин l_ii. В связи с этим значения l_ii можно выбирать произвольно, например равными 0,5 или 1. Нормированные веса всех показателей после проведения t итераций определяются как

Проиллюстрируем формальную методику определения весовых коэффициентов на примере.

Пример. Выбор наилучшего варианта системы автоматического регулирования. При проектировании системы автоматического регулирования представлено три конкурирующих варианта, эквивалентных по функциональному назначению системы, S₁, S₂ и S₃, параметры которых приведены в табл. 1.2.

Отметим, что все и все параметры целесообразно

минимизировать.

Таблица 1.2

Тип системы Sk	Параметры	Относительные показатели
,с	,Вт	,усл.ед.
S1 S2 S3	0,1 0,3 0,6			0,17 0,5 1,0	0,5 0,65 0,35	1,0 0,33 0,67
Требования технического задания	0,6			1,0	1,0	1,0

Примечание. Здесь θ₁ – время регулирования; θ₂ – энергопотребление; θ₃ –сложность аппаратурной реализации; -дискретные значения параметров.

В связи с тем, что все требования ТЗ для всех систем выполнены и не требуется применять определенных усилий для достижения заданных директивных значений переменных, оказывается возможным вместо соотношений (1.15) и (1.16), необходимых для определения весовых коэффициентов параметров, использовать выражения вида

Из табл. 1.1 следует, что

В табл. 1.3 приведены результаты расчётов величин и c_i на 1-й итерации. Величины l_ii взяты равными 0,5.

Таблица 1.3

Результаты расчётов величин и c_i

	0,5 0,231 1,0	1,0 0,5 0,507	0,397 0,461 0,5	1,897 1,192 2,007 5,096	0,372 0,234 0,394

Рассмотрим формирование элементов первой строки табл. 1.3:

По формуле рассчитывают коэффициенты более высоких порядков. Результаты расчетов сведены в табл. 1.4. Из табл. 1.4 видно, что значения весовых коэффициентов параметров стабилизировались к четвертой итерации.

Согласно выражению (1.13) определим значение аддитивного критерия для всех вариантов систем:

Поскольку стремимся минимизировать значение аддитивного критерия, наиболее предпочтительным оказывается вариант S₂.

Таблица 1.4

№ итерации
	0,372 0,349 0,350 0,351 0,351	0,234 0,234 0,238 0,237 0,237	0,394 0,417 0,412 0,412 0,412

Метод балльных оценок обычно находит применение в случаях сопоставления простых критериев, , когда их можно не представлять в виде совокупности частных критериев более низкого ранга. Если же критерии сложные (например, критерий надежности), то их предварительно разделяют на более простые частные критерии, для которых определяют оценки. Затем осуществляется формальный переход к оценкам исходных критериев.

Для выполнения предпочтений часто используют так называемые бинарные отношения, когда выполняется попарное сравнение всех критериев.

Метод Борда-Лапласа

Для более детального представления о методе балльных оценок рассмотрим одну из его, предназначенную для определения предпочтительных альтернатив А или В (метод можно использовать и для нескольких альтернатив).

В дополнение к альтернативам А и В группе экспертов г=1, 2,..., n предъявляются вспомогательные альтернативы С_i, i =1, 2,..., п и предлагается для А и В совместно с С_i назначить числа х_т^r, m = 1, 2,...,n + 2 на отрезке [0, 1]. Условно принимают, что меньшие числа означают большие предпочтения.

Затем определяются средние баллы предпочтительностей альтернатив А и В:

Их разность указывает на предпочтительность одной из этих альтернатив и дает представление об интенсивности этого предпочтения. Считается, что увеличение числа экспертов и вспомогательных альтернатив повышает правдоподобность решения.

Наиболее сомнительное решение будет в предельном случае при двух экспертах и противоречивости их мнений. В табл. 1.5 представлен такой пример при = 5, причем предпочтительности убывают слева направо.

Таблица 1..5

Результаты оценок экспертов

Из табл. 1.4 можно понять, что эксперты приняли разные интенсивности предпочтений: первый эксперт считает более интенсивным предпочтение А над В (х_В¹-- х_А¹ = 1,0), второй эксперт - предпочтение В над А^А (х_В¹-- х_А¹ = 0,6).Решение принимается на основе принципа минимакса, который в данном случае требует, чтобы при ошибочном решении ущерб был минимальным. Если считать, что он пропорционален разности баллов для А и В отвергнутой рекомендации, то решение должно быть принято в пользу более интенсивного предпочтения, т. е. следует считать А предпочтительнее В. Слабым местом в этом приеме является использование пропорциональности между ущербом и разностью баллов, поскольку последняя является субъективной и ее правильность не гарантирована.

В дальнейшем была предложена вероятностная модель метода Борда — Лапласа. В ней используются те же данные экспертизы и поэтому качественный вывод о предпочтительности одной альтернативы над другой сохраняется.

Кроме того, иногда считают, что упорядоченный набор чисел в порядке возрастания, выставленный каждым экспертом всем (n + 2) альтернативам, является одной из реализаций (n + 2)-мерной случайной величины х, равномерно распределенной в области своих значений. Такая модель позволяет получить численные значения доверительных вероятностей предпочтений одних альтернатив над другими, что несколько улучшает представление о количественных характеристиках предпочтений. Однако применение этой модели при малом числе альтернатив и особенно при малом числе экспертов сомнительно из-за использования весьма малой выборки.

Таким образом, при любой модели объективность решения зависит от числа сопоставляемых оценок и квалификации экспертов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: