Явления переноса и уравнение баланса

Проведение ХТП связано с переносом субстанции – импульса (количества движения), теплоты и массы (вещества).

Балансовые уравнения математически выражают законы сохранения субстанции.

Цель составления баланса:

1) нахождение связи между элементами баланса;

2) определение неизвестного элемента баланса;

3) проверка сходимости баланса.

Для составления баланса необходимо 1)выделить пространственный контур (контрольный объем); 2) установить временной интервал.

Пространственный контур может охватывать несколько аппаратов, один аппарат, часть аппарата или бесконечно малый объем аппарата.

В качестве временного интервала для периодических процессов обычно выбирают бесконечно малый промежуток времени , а для стационарных (непрерывных) процессов - единицу времени, например, 1сек.

Материальный баланс может быть частный (для одного компонента) и общий (для всех веществ в потоке).

Пусть Пр – приход субстанции в контур; У_Х- уход субстанции из контура; Ис Ст – источники и стоки субстанции внутри контура; Нак и Рез – накопление субстанции в контуре за данный временной интервал или результат процесса. Например, источником может быть образование вещества или выделение теплоты смешения внутри контура, а стоком – исчезновение (полное или частичное) вещества или поглощение теплоты при смешении компонентов.

Источники и стоки отмечены на схеме крестиками или точками в маленьких кружочках.

Накопление – это разность между конечным и начальным количеством субстанции. Пусть масса субстанции М. В стационарном процессе Нак=М_К-М_Н=0, т.е. накопление субстанции внутри контура К не происходит. В периодическом процессе для элементарного промежутка времени _: Нак= .

Баланс импульса обычно сводится к балансу к балансу взаимодействующих сил. При этом внешние массовые силы (например, силу гравитации) относят к источникам или стокам импульса внутри контура. В этом случае применяют термин Результат (Рез) – изменение ситуации под действием равнодействующей всех сил, а не Накопление (Нак).

Запишем основное балансовое соотношение (ОБС):

ΣПр-ΣУх+ΣИс-ΣСт = Нак (Рез)

Для стационарного непрерывного процесса при отсутствии Источников и Стоков ОБС упрощается:

ΣПр = ΣУх

Аналогия процессов переноса субстанции

А) Законы молекулярного переноса

Различают два типа механизма переноса субстанции через поверхность S:

1 молекулярный – за счет хаотического теплового движения молекул;

2)конвективный (макроскопический) – макрообъемами системы (струйками).

В ламинарном потоке и неподвижной среде определяющую роль играет молекулярный перенос. Последний обусловлен стремлением системы к термодинамическому равновесию, т.е. к усреднению потенциала в данном объеме.

При переносе импульса потенциалом переноса может служить скорость ω или импульс единицы объема жидкости: [ω·ρ]=[кг·м/м³·с].

При переносе теплоты – температура или энтальпия единицы объема жидкости: [c_p·ρ·t]=[Дж/м³], где c_p – удельная массовая теплоемкость при постоянном давлении [c_p]= [Дж/кг·К].

Изоповерхность – поверхность с постоянным значением потенциала переноса, например, изотермическая поверхность.

Удельный поток субстанции q (приходящий на 1 м² изоповерхности в 1с и нормальный к этой поверхности) пропорционален градиенту потенциала переноса.

Градиент потенциала – рост потенциала на единицу длины по нормали к изоповерхности.

- градиент температуры; q – удельный тепловой поток [q]= [Дж/с ·м²].

Молекулярный перенос импульса описывается законом внутреннего трения Ньютона:

(А)

Направления потока импульса и градиента локальной скорости противоположны, поэтому в (А) знак «-».

Физический смысл μ: сила, действующая между двумя параллельными площадками в 1 м² в жидкости, расстояние между которыми 1м, а разность скоростей площадок 1м/с.

Продольное касательное напряжение внутреннего трения τ_Т имеет размерность Н/м², т.е. Па.

Уравнение (А) можно записать ωρ:

(В)

[ν]= [м²/с].

Молекулярный перенос теплоты подчиняется закону Фурье:

(С)

[q_Mt]= [Вт/м²].

Физический смысл коэффициента теплопроводности λ: количество теплоты, проходящей в 1с. Между двумя площадками в 1м² при расстоянии между ними в 1м и разности температур в 1 градус, т.е. при единичном градиенте температуры; [λ]= [Вт/м·К].

Уравнение (С) можно записать через (энтальпию единицы объема жидкости):

(Д),

где - коэффициент температуропроводности, м²/с.

Молекулярный перенос вещества можно выразить первым законом Фика

(Е), где D – коэффициент молекулярной диффузии; [D]= [м²/с].

Физический смысл D: количество распределяемого компонента, которое переносится в 1с между двумя параллельными площадками в 1м² при расстоянии между ними в 1м и при единичной разности концентрации.

Как видно, приведенные законы молекулярного переноса описываются аналогичными уравнениями.

Для газов эта аналогия очень близка, т.к. ν≈a≈D, для капельных жидкостей аналогия имеет ограниченный характер.

Б) Дифференциальные уравнения переноса субстанции в движущейся жидкости (Навье-Стока, Фурье-Кирхгофа и Фика).

Запишем уравнение переноса импульса для несжимаемой вязкой (идеальной) жидкости объемом для оси z:

- уравнение Навье-Стока для нестационарного потока, где

- сила инерции;

- сила тяжести;

- сила давления;

- сила внутреннего трения;

- проекции скорости на оси координат.

С одной стороны, уравнение (А) можно трактовать как баланс сил, действующих на элементарный движущийся объем жидкости.

С другой стороны, уравнение (А) – это ОБС.

- локальное накопление ( в данной точке) импульса во времени;

- накопление импульса за счет конвекции, т.е. при перемещении объема ;

- источник (или сток) импульса в контуре за счет силы гравитации;

- накопление импульса за счет силы давления;

- накопление импульса за счет силы внутреннего трения;

- оператор Лапласа (лапласиан), т.е. сумма вторых производных по координатным осям.

Запишем уравнение переноса теплоты в движущейся жидкости ( , среда – однофазная, неразрывная, изотропная):

- уравнение Фурье-Кирхгофа для нестационарного потока

соответствует локальному накоплению теплоты во времени средой объемом за счет изменения температуры в данной точке;

отвечает накоплению теплоты за счет конвекции;

выражает перенос теплоты кондукцией (теплопроводностью).

характеризует теплопоглощение (тепловыделение) внутри контура ;

- источник (или сток) теплоты в единице объема и в единицу времени [Дж/м³·с].

Запишем уравнение переноса вещества (массы) в движущейся жидкости (D=const, среда однофазная, изотропная, неразрывная):

- уравнение Фика для нестационарного потока

с – концентрация вещества [с]= [кмоль/м³];

соответствует локальному накоплению вещества во времени за счет изменения его концентрации в данной точке;

отвечает накоплению вещества за счет конвекции;

характеризует молекулярный перенос компонента;

выражает возникновение (исчезновение) вещества в объеме в результате химического превращения.

Лекция №5

Теория подобия

В ХТП имеет место множество технологических параметров (). Получить математическую модель ХТП (систему уравнений и неравенств, адекватно описывающую данный процесс) можно аналитически. Но при этом получаются трудноразрешимые дифференциальные уравнения. Поэтому применяют моделирование ХТП – метод исследования процессов на моделях, отличающихся от натуры (промышленного аналога) в основном масштабом.

Различают два метода моделирования:

1) метод теории подобия (обобщенных переменных), т.е. физическое моделирование;

2) метод численного эксперимента (математическое моделирование).

Для конкретного процесса надо учитывать определенные ограничения. Поэтому математическую модель необходимо дополнить условиями однозначности. К ним относятся:

1) геометрическая форма (конструкция и размеры аппаратов);

2) физические свойства компонентов;

3) начальные условия (начальная температура, начальная концентрация и т.д.);

4) граничные условия (например, скорость жидкости на стенке равна нулю).

Расчетные соотношения в обобщенных переменных (критериальные уравнения) получают опытным путем. Однако эксперименты проводят не на натурных объектах (промышленных аппаратах), а на их лабораторных моделях. Натура и модель должны отвечать определенным требованиям, которые устанавливает теория подобия.

Теория подобия – учение о методах научного обобщения результатов экспериментов для подобных процессов и явлений.

Для подобия натуры и модели между ними должно иметь место геометрическое, физическое, временное подобие, а также подобие начальных и граничных условий.

Подобие можно задавать с помощью констант и инвариантов подобия.

Пусть имеются промышленный цилиндрический аппарат и его лабораторная модель. H и h – высота, D и d – диаметр аппарата и модели, 0^’, 0^”, 1^’, 1^”, 2^’, 2^”, … - сходственные точки в рабочем объеме аппарата и лабораторной модели.

Если аппарат и модель подобны, то отношения их сходственных величин должны быть постоянны. Константу подобия составляют в виде отношения однородных (одноименных) сходственных величин.

Запишем константу геометрического подобия (масштабный множитель):

Составим константу подобия скоростей:

.

Аналогично записываются константы плотностей, давлений, вязкостей и т.п.

Константа временного подобия:

При временном подобие натуры и модели интервалы времени, в течение которых частицы жидкости в них проходят геометрически подобные траектории, находятся в постоянных соотношениях.

При подобии начальных и граничных условий постоянны отношения значений параметров в начале и на границах систем (натура и модели).

Константы подобия зависят от соотношения размеров натуры и модели. Это создает трудности при масштабном переходе от модели к аппарату. Инвариатные подобия не зависят от соотношения размеров натуры и модели. Инварианты подобия составляют в виде отношений сходственных величин в пределах одной системы.

Запишем инвариант геометрического подобия:

(одно и то же).

Составим инвариант вязкостей:

.

Инвариант подобия, составленный из однородных величин, - параметрический критерий (симплекс). Например, H/D – геометрический симплекс.

Инвариант подобия, составленный из разноименных величин, - критерий подобия.

Критерии подобия безразмерны. Подобные процессы и явления характеризуются численно равными критериями подобия.

Гидродинамическое подобие

Критерии гидродинамического подобия можно получить двумя способами:

1) методом анализа размерностей физических величин;

2) масштабным преобразованием уравнений Навье-Стокса.

Запишем уравнение Навье-Стокса для вертикальной оси z:

.

Сделаем подобные замены:

– соответствует нестационарности потока;

– характеризует силы инерции;

– отвечает силам тяжести;

– выражает силы давления;

– соответствует силам трения (вязкости).

Взяв отношения приведенных комплексов к , получим критерий гидродинамического подобия:

– критерий Рейнольдса (мера соотношения сил инерции и вязкости (трения) в потоке жидкости.)

– критерий Фруда (мера соотношения сил инерции и гравитации в потоке жидкости).

– критерий Эйлера (мера соотношения изменения сил гидростатического давления к силам инерции в потоке жидкости).

– критерий гомохронности (характеризует нестационарный характер потока жидкости).

l – характерный (определяющий) линейный размер (внутренний диаметр трубы, диаметр твердой частицы, эквивалентный диаметр зернистого слоя и т.п.).

Равенство критериев Re, Fr, Eu и Ho, т.е. основных критериев гидродинамического подобия, в сходственных точках натуры и модели – необходимое и достаточное условие их гидродинамического подобия.

В процессе естественной конвекции практически невозможно измерить скорость ω. Поэтому ее исключают:

– критерий Галилея (мера соотношения сил гравитации и вязкости в потоке жидкости).

– критерий Архимеда (мера соотношения сил тяжести, трения и подъемной силы в потоке жидкости).

Критериальные уравнения движения жидкости.

Эти уравнения – решение уравнений Навье-Стокса. В общем виде:

(А) –для нестационарного потока.

Для стационарного потока уравнение (А) упрощается: (В).

Критериальные уравнения движения жидкости удобно представить в виде степенной зависимости:

, (С)

где Г – геометрический симплекс (например, ).

Величины А, m, n, p и q определяют опытным путем, например, с использованием метода наименьших квадратов.

Критерий Eu – определяемый, остальные критерии – определяющие. При проведении гидравлических расчетов возникает необходимость определения – гидравлического сопротивления трубопровода, аппарата и т.д.

Вначале находят все величины в правой части уравнения (С). Затем вычисляют критерий Eu. И, наконец, находят .

Перепад давлений необходимо знать для подбора насоса или компрессора.

Лекция №6

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: