Дифференциальные уравнения гидравлики

Лекция № 1.

Введение

План

1.Предмет гидравлики.

2.Основные свойства жидкостей.

1.Предметом технической гидрогазодинамики является изучение закономерностей равновесия и движения реальных жидкостей. Гидрогазодинамика состоит из двух частей: 1) гидростатика; 2) гидродинамика. В гидростатике – законы равновесия, в гидродинамике – законы движения жидкостей.

Различают внутреннюю, внешнюю и смешанную задачу гидравлики.

Внутренняя задача – движение жидкостей в трубах и каналах.

Внешняя задача – обтекание твердых тел потоком жидкости или движение твердых тел в неограниченной жидкой среде.

Смешанная задача – движение жидкостей через зернистый слой.

2.В гидравлике жидкости, газы и пары называют жидкостями. Объясняется это тем, что законы движения жидкостей, газов и паров практически одинаковы при скоростях значительно ниже скорости звука.

Реальные жидкости делятся на капельные и упругие (газы и пары). И капельные и упругие жидкости обладают текучестью, т.е. неспособны самостоятельно удерживать свою форму. Капельные жидкости практически несжимаемы, а упругие сжимаемы и целиком заполняют сосуд.

С целью упрощения в гидромеханике вводится понятие об идеальной жидкости. Последняя обладает абсолютной текучестью (не сопротивляется растяжению и сдвигу) и абсолютной несжимаемостью. Реальные жидкости обладают липкостью (сопротивление растяжению) и вязкостью (сопртоивление сдвигу) и в какой-то степени сжимаемы.

Плотность – масса единицы объема жидкости: ; кг/м³.

Удельный вес – вес единицы объема жидкости: ; Н/м³

Силы, действующие на жидкость, делятся на массовые (объемные) и поверхностные. Массовые силы действуют на каждую частицу данного объема жидкости и пропорциональны массе (силы тяжести, инерции, центробежная). Поверхностные силы (давления, трения) действуют на поверхностях, отделяющих данный объем жидкости от окружающей его среды; они пропорциональны площади поверхности.

Напряжение сжатия, обусловленное действием равномерно распределенной поверхностной силы давления Р на поверхность F, называется гидростатическим давлением: ; Па (Н/м²).

Гидростатическое давление действует нормально к поверхности и не зависит от ориентации последней в пространстве.

Поверхностное натяжение вызвано стремлением жидкости уменьшить свою поверхность за счет взаимного притяжения молекул. Поверхностное натяжение развивается тонким поверхностным слоем жидкости на границе с газом, паром или со стенкой сосуда. Силы притяжения молекул в остальном объеме жидкости взаимно уравновешиваются.

Коэффициент поверхностного натяжения – отношение силы поверхностного натяжения к длине линии раздела:

, Н/м.

Вязкостью жидкости объясняется разность скоростей смежных слоев жидкости (их скольжение), что видно из эпюры скоростей в поперечном сечении прямолинейного параллельного струйчатого потока:

n – расстояние от ограничивающей стенки по нормали к ней; ω – скорость равноудаленных слоев жидкости.

Продольные касательные силы внутреннего трения по закону Ньютона (1686) пропорциональны градиенту скорости и поверхности контакта слоев F:

Коэффициент μ – коэффициент внутреннего трения, или абсолютной вязкости, или динамической вязкости.

Напряжение внутреннего трения

; Па.

В расчетах часто пользуются кинематической вязкостью ν, выражающей отношение коэффициента динамической вязкости к плотности жидкости:

; м²/с.

Коэффициент динамической вязкости воды при атмосферном давлении и 20 ⁰С: Па·с. Для воздуха при тех же условиях: Па·с.

Закон Ньютона справедлив для жидкостей с небольшой молекулярной массой, вязкость которых не зависит от скорости сдвига . У таких жидкостей (ньютоновских) зависимость от (кривая течения) линейна.

У неньютоновских жидкостей (коллоидные суспензии, ВМС) кривые течения нелинейны.

1 – бимгамовские

2 – псевдопластические (растворы ВМС);

3 – ньютоновские (вода, ацетон);

4 – дилатантные (пульпы).

Лекция № 2

Основные понятия и законы гидравлики.

План.

1.Основное уравнение гидростатики.

2.Сила давления жидкости на плоскую стенку. Центр давления.

3.Поток жидкости и его параметры.

4.Виды и режимы движения жидкости. Критерий Рейнольдса. Характеристика турбулентного потока.

5.Уравнение неразрывности потока.

1.В гидростатике изучается равновесие жидкостей, неподвижных относительно стенок сосуда (например, цистерна), хотя сам сосуд может и двигаться.

– основное уравнение гидростатики.

– закон Паскаля. Согласно закону Паскаля, давление в любой точке объема неподвижной жидкости равно давлению на поверхности жидкости плюс вес столбика жидкости единичного сечения (1 м²) над данной точкой. Отсюда следует, что во всех точках неподвижной жидкости на одинаковой глубине h_x давление одно и то же. Изменение внешнего давления р₀ на некоторую величину приводит к изменению давления во всех точках жидкости на ту же величину.

2.Сила полного гидростатического давления на плоскую стенку равна гидростатическому давлению в центре тяжести смоченной стенки, умноженному на ее смоченную поверхность.

Последняя формула справедлива также для вертикальной стенки (α=90˚, h_ц=l_ц).

Гидростатический парадокс: сила давления жидкости на горизонтальное дно сосудов не зависит от их формы: h=const; F₁=F₂=F₃; P₁=P₂=P₃. F- площадь дна. При данной плотности сила давления на горизонтальное дно сосуда определяется лишь высотой столба жидкости H и площадью F дна сосуда:

В случае наклонной стенки силу Ρ можно рассмотреть как сумму двух сил: Ρ₁=p₀F Ρ₂=ρgh_цF. Сила Ρ₁представляет собой результирующую равномерной нагрузки и приложена в центре тяжести площади F. А сила Ρ₂– равнодействующая сил избыточного давления, распределенных по площади F неравномерно, т.к. с увеличением глубины погружения давление растет. Следовательно, точка приложения этой силы смещена от центра тяжести в сторону большей глубины.

Центр давления – точка приложения сил избыточного давления жидкости на стенку.

Практическое применение основного уравнения гидростатики – гидростатические машины, сообщающиеся сосуды. Например, в ХП используются гидравлические прессы.

1, 2 – поршни; 3 – прессуемый материал; 4 – неподвижная плита.

Сила давления на поршень 1:

; ; P₂>>P₁.

Поршень 2 передаст силу давления P₂во столько раз большую, чем P₁, во сколько раз сечение цилиндра 2 больше, чем цилиндра 1.

3. Поток – масса движущейся жидкости, направляемая твердыми стенками.

w₁и w_{2 –}скорости частиц 1 и2.

Линия тока – линия, в каждой точке которой вектор скорости частицы совпадает с направлением касательной (линия 1-2-3).

Трубка тока – совокупность линий тока, проведенных через все точки контура элементарного живого сечения .

Элементарная струйка – пучок линий тока, проходящих через трубку тока.

Живое сечение потока – поперечное сечение потока плоскостью, нормальной к направлению скорости жидкости (S).

Смоченный периметр – часть контура живого сечения, по которой поток соприкасается с твердыми стенками (П).

Гидравлический радиус потока R_г – отношение площади живого сечения S к соченному периметру П:

, м.

Эквивалентный диаметр d_э равен учетверенному гидравлическому радиусу:

d_э

Абсолютная шероховатость стенок ∆ - это средняя высота выступов неровностей, измеренная в линейных единицах.

Относительная шероховатость - это отношение абсолютной шероховатости к диаметру трубы:

Расход жидкости – количество жидкости, протекающей через живое сечение потока в единицу времени. Объемный расход измеряется в , массовый расход в .

Скорость частиц жидкости максимальна около оси трубы, а по мере приближения к стенкам она уменьшается. В расчетах обычно используют среднюю скорость. Средняя скорость движения потока равна отношению объемного расхода к площади живого сечения потока:

, откуда

объемный расход ;

массовый расход .

Скорость жидкости в данной точке – местная (локальная) скорость.

3.Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным).

При нестационарном движении параметры жидкости (давление, скорость) зависят от времени, при стационарном – не зависят.

Напорное движение - поток полностью заполняет поперечное сечение трубы, безнапорное – неполностью.

Равномерное движение – вдоль трубы скорость жидкости постоянна, неравномерное – переменна.

Впервые режимы течения жидкости изучались Рейнольдсом в 1883г.

Режим движения жидкости может быть ламинарным (струйчатым) или турбулентным (вихревым). При ламинарном режиме все частицы жидкости движутся по параллельным траекториям, поперечное перемешивание отсутствует. При турбулентном режиме частицы жидкости движутся по хаотическим траекториям, хотя вся масса жидкости перемещается в одном направлении.

Переход от ламинарного режима к турбулентному происходит тем легче, чем больше массовая скорость жидкости и диаметр трубы и тем меньше вязкость жидкости .

Критерий Рейнольдса Re: .

Он является мерой соотношения между силами вязкости и инерции в движущемся потоке.

Переход от ламинарного режима к турбулетному характеризуется критическим значением Re.

Для прямых гладких труб при Re<2320 – устойчивый ламинарный режим; 2320< Re<10000 – неустойчивый турбулентный (переходный) режим; Re>10000 – устойчивый (развитый) турбулентный режим.

Для ламинарного режима w_ср=0,5w_max, для турбулентного - w_ср=(0,85-0,9)w_max_..

Рис. эпюра скоростей для турбулентного режима.

Непосредственно у самой стенки тербулентного потока имеется ламинарный подслой очень малой толщины δ. В пределах этого слоя происходит резкий рост скорости от нуля на стенке до конечной величины на ее границе. При дальнейшем удалении от стенки происходит переход в турбулентное ядро.

5.При условии недеформируемости и непроницаемости стенок для потока жидкости можно записать (для стационарного режима):

- уравнение неразрывности (сплошности) потока, или постоянства расхода жидкости.

Для несжимаемой жидкости (ρ=const):

или , т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям живых сечений.

Уравнение постоянства расхода выражает материальный баланс потока и является частным случаем закона сохранения массы.

Лекция №3

Дифференциальные уравнения гидравлики

План

1. Дифференциальные уравнения движения жидкости.

2. Уравнения Бернулли.

3. Примеры практического использования уравнения Бернулли.

1.Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, действующих на движущийся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости на ее ускорение.