Выражение для движущей силы оседания имеет вид

F_движ = 4/3pr³g(r - r₀),

r – радиус оседающей частицы.

Движущей противодействует сила трения, величина которой определяется законом Стокса:

F_тр = 6phrv,

где h - динамическая вязкость дисперсионной среды, r – радиус частицы, v - скорость оседания.

Через некоторый промежуток времени от начала седиментации движение частицы начнет протекать с постоянной скоростью (равномерное движение). В этом случае SF = 0, т. е. F_движ = F_трения. Тогда

6phrv = 4/3pr³g(r - r₀). (36)

После несложных преобразований получаем зависимость для расчета скорости осаждения монодисперсных (r = const) частиц

v = . (37)

В случае газовой дисперсионной среды r >> r₀, следовательно r₀ можно пренебречь и уравнение (37) несколько упрощается

v = . (37а)

Если r < r₀, то v принимает отрицательные значения. Иначе говоря, вместо осаждения наблюдается всплытие частиц.

Из уравнений (37) и (37а) следует, что скорость оседания (при r > r₀) пропорциональна квадрату радиуса и плотности вещества дисперсной фазы и обратно пропорциональна динамической вязкости дисперсионной среды.

Из зависимости (37) легко получить радиус седиментирующих частиц, если известна их скорость оседания

r =

или для случая аэрозолей (пренебрегая r₀ для систем с газовой дисперсионной средой).

r = .

Естественно, что после завершения оседания достаточно крупнодисперсных частиц в системе (в газовой или жидкой дисперсионной среде) остаются неспособные седиментировать наиболее мелкие частицы. Оседанию препятствует их участие в броуновском движении, что приводит к устойчивому квазиравновесному распределению таких частиц по высоте (h).

Равновесное распределение подобных образований по h принято называть седиментационной или кинетической устойчивостью. Такое состояние характерно, прежде всего, для высокодисперсных систем (газы, истинные растворы). Коллоидные системы (аэро- и лиозоли) занимают промежуточное положение.

Седиментации противодействует диффузионный поток вещества, интенсивность которого описывается зависимостью, называемой первым законом Фика, имеющим следующий вид

i_g = - D . (38а)

Если сечение диффузии S и время диффузии t принимают единичные значения, уравнение (38а) приобретает вид

i_g = - D , (38б)

где D – коэфициент диффузии и dС/dx – градиент концентрации (скорость изменения концентрации по направлению диффузионного потока).

Величину потока седиментации (i_c) можно выразить через его скорость и концентрацию дисперсной фазы

i_c = vC.

Приняв 6phr = В, для силы трения имеем

F_тр = Вv.

Тогда при F_движ = F_тр. и v = const,

mg = Вv,

откуда

v = (39)

i_c = mgС/B,

где m – эффективная масса частицы, В – эффективный коэффициент трения (6phr) между дисперсной фазой и дисперсионной средой, с – концентрация дисперсной фазы, g – ускорение свободного падения.

Уравнение Фика можно записать иначе

m = - D .

Величина D, в свою очередь, определяется зависимостью (уравнение Эйнштейна)

D = . (40)

R – универсальная газовая постоянная, N – число Авогадро, k – константа Больцмана.

Разделив уравнение (39) на (38б), имеем:

i_c/i_g =

и, учтя (40), получаем

i_c/i_g = -

или

i_c/i_g = - , (41)

где V – объем частицы, k – константа Больцмана.

При i_c/i_g >> 1 потоком диффузии можно пренебречь. Напротив, для случая i_c/i_g << 1 исчезающе мал поток седиментации. И лишь при соотношении

i_c/i_g » 1

устанавливается определенное распределение частиц по высоте.

В условиях интенсивного перемешивания dС/dx = 0. При прекращении перемешивания такой системы равномерное распределение нарушается, а производная dС/dx возрастает во времени. Этот эффект продолжается до тех пор, пока не выравнены потоки i_g и i_c, т. е. i_c/i_g = 1. Заменив х на h (распределение по высоте), имеем:

= 1

ln = mgh/kT.

Для 1 моля частиц

ln = ; (42а)

или

С₀/С_h = е^mgh/kT. (42б)

Так как давление пропорционально концентрации, то

ln = , (42в)

(42в) – гипсометрический закон Лапласа.

Следует учесть, что концентрация дисперсной фазы пропорциональна частичной концентрации. Тогда уравнение (42а) для рассматриваемого случая можно представить в виде

ln =

или

h = . (43)

Здесь n₀ и n_h – концентрация монодисперсных частиц соответственно в нулевой точке, взятой за исходную для отсчета и на расстоянии h от нее.

Уравнение (43) позволяет оценить величину h, на которой соотношение снижается в заданное число раз.

Рассмотренный подход количественно справедлив только для монодисперсных систем, которые на практике практически не встречаются. Для инженерных расчетов, проводимых в случае полидисперсных систем, целесообразно оценивать связь между размером частиц и количеством седиментировавшего (перешедшего в осадок) вещества. Эту связь можно оценить из следующих соображений. Масса дисперсной фазы М_ос прямо пропорциональна количеству вещества А в столбе рассматриваемой системы, скорости v и времени оседания t и обратно пропорциональна высоте столба h. Отсюда можно записать

М_ос = k , (44)

k – коэффициент пропорциональности, равный 1.

Сочетая уравнения (44) и (37), и, учтя плотность дисперсионной среды, получим

М_ос = .

Откуда

r = . (45)

Однако и уравнение (45) пригодно только для случая монодисперсных систем.

Седиментация полидисперсной системы характеризуется кривой седиментации (рис. 5). На ней обычно хорошо выражен прямолинейный участок ОВ, отвечающий малым значением t. Абсцисса точки В соответствует времени полного выделения самой крупной фракции (t₁) º (t_мин). Цифра в нижнем индексе t_i характеризует время оседания i–той фракции.

Рис. 5. Кривая седиментация полидисперсной системы.

После установления предельных размеров самых крупных и мелких частиц, полидисперсную систему условно разбивают на фракции с радиусом частиц в заданных узких пределах. В общем случае берут фракции по кривой седиментации, выделив для этой цели серию точек в местах наибольшего изменения кривизны кривой ОG (рис. 5) – С, D, E и F. По абсциссам выбранных точек вычисляют максимальный и минимальный радиус частиц каждой фракции.

При этом масса каждой фракции определяется по отрезкам, отсекаемым на оси ординат. Так отрезок соответствует М_ос первой фракции, - второй, - третьей и т. д. Примем общую массу осадка, соответствующей длине отрезка . Тогда можно определить относительное содержание каждой фракции. Так отношение / характеризует долю первой фракции, / - второй и т. д.

Контрольные вопросы

1. От чего зависит сила трения в соответствии с законом Стокса?

2. Получите выражение для скорости седиментации в гравитационном поле. Каков физический смысл отрицательной величины скорости седиментации?

3. Запишите выражение для 1-го закона Фика.

4. Что характеризует гипсометрический закон Лапласа?

5. Как можно определить фракционный состав седиментируемой полидисперсной системы?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: