Теория механизмов и машин

Практикум по теме «Структурный анализ и синтез механизмов»

Пример 1. На рис. 4.3.1 изображена структурная схема механизма привода шасси самолета. На ней изображаются звенья механизма, их взаимное расположение, а также кинематические пары. На схеме звенья обозначаются цифрами, а кинематические пары – заглавными латинскими буквами. Цифры в индексах обозначений КП указывают относительную подвижность звеньев в паре, буквы – на вид пары, который определяется видом относительного движения звеньев

Проведем структурный анализ данного механизма.

Общее число звеньев механизма: k = 7.

Число подвижных звеньев механизма: n = k – 1 = 6.

Число КП: p_i = 8 (вращательных p_1в = 7, поступательных p_1п = 1).

Подвижность механизма на плоскостиопределяем,используя формулу Чебышева П.П.

3 × 6 – 2 × 8 – 0 = 2 = 1 + 1 = W₀ + W_м,

где n – число подвижных звеньев механизма;

p_н – число низших кинематических пар;

p_в – число высших кинематических пар.

W₀и W_м – соответственно подвижность основная и местная.

Число избыточных связей:

q =W₀ + W_м – W = 1 + 1 – 2 = 0.

Представим механизм в виде совокупности первичного механизма и структурных групп Ассура. Результаты структурного анализа изображены на рис. 4.3.2.

Для рассматриваемого механизма структурный анализ можно проводить только для плоской модели, так как она не содержит избыточных связей. Механизм состоит из двух рычажных двухповодковых групп (1-й класс 2-й порядок).

Пример 2.На рис. 4.3.3 изображена структурная схема плоского механизма. Структурная схема механизма в соответствии с принятыми условными обозначениями изображает звенья механизма, их взаимное расположение, а также подвижные между звеньями. На схеме звенья обозначены цифрами, кинематические пары – заглавными латинскими буквами. Цифры в индексах обозначения КП указывают относительную подвижность звеньев в паре, буквы – на вид пары, который определяется видом относительного движения звеньев.

Проведем структурный анализ плоского механизма, изображенного на рис. 4.3.4. Общее число звеньев механизма: k = 6.

Число подвижных звеньев n = 5, число кинематических пар p_i = 7, из них для плоского механизма одноподвижных p₁= 7(вращательных p_1в = 4, поступательных p_1п = 3).

Число подвижностей механизма на плоскости W^пл= 3 × 5 – 2 × 7 = 1 = W₀. Основная подвижность W₀ определяет функцию механизма: преобразование входного вращательного движения j_1 в поступательное S₅. Для нашего механизма число избыточных связей на плоскости определяем по формуле

q =W₀ + W_м – W = 1 + 0 – 1 = 0;

Рис. 4.3.4

Пример 3. Структурный анализ плоского рычажного механизма (рис. 4.3.5).

Рис. 4.3.5

Звенья механизма

Кинематические пары

Определяем степень подвижности механизма, используя формулу П.П. Чебышева:

,

где n – число подвижных звеньев механизма;

– число низших кинематических пар;

– число высших кинематических пар.

Определяем структурные группы Ассура (рис. 4.3.6). Состав и последовательность присоединения групп Ассура в механизме можно выразить его формулой строения:

1₁(0 – 1)В ® 2₂(2 – 3) ВП.

Из этой формулы видно, что к структурной группе входного звена (кривошип 1) со стойкой (О) 1-го класса присоединена структурная группа 2-го класса, 2-го порядка, состоящая из шатуна 2 и ползуна 3.

Рис. 4.3.6

Построение плана механизма. Выбираем масштабный коэффициент для плана механизма:

,

где АВ – отрезок, изображающий на плане механизма звено АВ и его размер .

Длину этого отрезка принимают произвольно от 30 до 70 мм.

Находим длины остальных отрезков:

;

;

;

Построения производят в следующем порядке. На чертеж (см. рис. 4.3.6) наносится ось стойки и на ней выбирается положение точки А. От горизонтальной оси откладываем угол j = 45°, тем самым показывая направление кривошипа АВ, на котором откладывается отрезок АВ = 45 мм. Далее изображается направляющая для ползуна, отстоящая от горизонтальной оси на величину y. В данном случае она совпадает с осью для стойки. Затем из точки В циркулем делается засечка радиусом ВЕ = 180 мм на оси направляющей ползуна. Точка пересечения – искомая точка Е. Аналогично находится положение точек S₁ и S₂: из точки А радиусом 22,5 мм делается засечка на кривошипе АВ, получается точка S₁; из точки В радиусом 90 мм делается засечка на шатуне ВЕ – точка S₂. Все точки соединяются прямыми линиями. План механизма построен.

Практикум по теме «Кинематический анализ и синтез механизмов»

Пример 1.Произведем кинематический анализ шестизвенного механизма, кинематическая схема которого j₁, e₁, l_i, w₁ (рис. 4.3.7). Определим v_j, a_j, e_j, w_i. Решение векторных уравнений скоростей и ускорений проводится графическим методом, часть неизвестных определяется по уравнениям кинематики плоского движения аналитически. Таким образом, для решения уравнений в задаче используется комбинированный графо-аналитический метод.

1. Построение плана положений.Планом положений механизма называется векторная диаграмма, на которой в масштабе изображены в виде векторов звенья механизма. Кинематические пары на плане положений не изображаются. С помощью плана положений графически решается задача о положении звеньев, определяются неизвестные линейные и угловые координаты.

2. Построение плана скоростей (рис. 4.3.8). Определяем виды относительного движения звеньев: звено 5 движется поступательно, звенья 1, 3 совершают вращательное движение, а звенья 2, 4 – плоское.

Линейную скорость точки B звена 1 определяем по формуле

v_B = w₁l_AB.

На плане скорость v_B изображается отрезком p_vb. Зададимся величиной этого отрезка и определим масштаб плана скоростей:

m_v = p_vb / v_B.

Для скорости точки C составим векторное уравнение сложного движения:

,

из графического решения которого находим модули векторов скоростей:

v_C = p_vc / m_v;

v_BC = bc / m_v.

Скорости центров масс S₂ и S₃, а также скорость точки E звена 3 определяем пропорциональным делением отрезков плана скоростей :

BS₂ / BC = bs₂ / bc, bs₂ = (BS₂ / BC)bc;

DS₃ / DC = ds₃ / dc, ds₃ = (DS₃ / DC)dc;

DE₃ / DC = de / dc, de = (DE₃ / DC)dc.

Следовательно, v_S2 = bs₂ / m_v, v_S3 = bs₃ / m_v, v_E = de / m_v.

Для скорости точки F составим векторное уравнение сложного движения:

,

из графического решения которого находим модули векторов скоростей:

v_F = p_vf / m_v;

v_EF = ef / m_v.

Угловые скорости звеньев 2 и 3 находим по формулам:

w₂ = v_CB / l_CB;

w₃ = v_C / l_CD.

Построение плана ускорений (рис. 4.3.9). Ускорение точки B звена 1, совершающего вращательное движение, определяем по формуле

,

где – нормальная составляющая ускорения;

– тангенциальная составляющая ускорения.

Задаемся величиной отрезка p_an'_b, изображающего на плане ускорений нормальную составляющую, и определим масштаб плана ускорений: ma = p_a / .

Ускорение точки C определяется совместным решением векторных уравнений сложного движения точки C относительно точки B:

и вращательного движения точки C:

где

Тангенциальные составляющие найдем из плана ускорений:

, .

Ускорение центров масс S₂, S₃ и точки E определим методом пропорционального деления отрезков плана ускорений:

BS₂ / BC = b' / b'c', b' = (BS₂ / BC)b'c';

DS₃ / DC = d' / d'c', d' = (DS₃ / DC)d'c'

DE₃ / DC = d'e' / d'c', d'e' = (DE₃ / DC)d'c';

Следовательно,

, , .

Для ускорения точки F составим векторное уравнение сложного движения:

где = 2w₃v_FE – ускорение Кариолиса точки F в относительном движении относительно точки E.

Угловые ускорения звеньев 2 и 3 определяем по формулам:

, .

Итак, с помощью графо-аналитического метода, мы определили угловые скорости и ускорения звеньев, а также линейные скорости и ускорения заданных точек механизма, изображенного на рис. 4.3.7.

Пример 2. Кинематический анализ механизма (рис. 4.3.10) графо-аналитическим методом.

Рис. 4.3.10:

а – план механизма m _L = 0,01 м/мм; б – план ускорений m_V = 19,45 м/(c²·мм); в – план скоростей m_V = 0,495 м/(c·мм)

1. Построение плана скоростей. План скоростей строим в соответствии с формулой строения механизма. Определим вначале величину и направление скорости точки В кривошипа. Величина определяется формулой

.

Вектор скорости перпендикулярен кривошипу АВ и направлен в сторону вращения кривошипа.

Построение начинаем с выбора полюса плана скоростей и величины отрезка (изображающего вектор ), которую выбираем в пределах 30–100 мм. Определим масштабный коэффициент плана скоростей:

.

Из полюса откладываем отрезок перпендикулярно к АВ (в сторону вращения кривошипа), обозначаем конец вектора стрелкой и буквой (рис. 4.3.10, в).

Рассмотрим движение точки Е по отношению к точке В, затем по отношению к направляющей. Связь между скоростями указанных точек может быть представлена векторным уравнением

.

Решаем уравнение графически. Через точку b – конец ранее найденного отрезка плана скоростей – проводим прямую, перпендикулярную направлению ВЕ. Через полюс проводим прямую, параллельную направляющей ползуна. Пересечение двух указанных лучей отмечаем точкой е. Отрезок изображает абсолютную скорость точки Е, а отрезок на плане скоростей изображает скорость точки Е звена 2 в движении относительно точки В.

Величины этих скоростей определяют по формулам:

м/с;

м/с,

где и измеряем с плана скоростей (рис. 4.3.10, в).

Для нахождения скоростей точек S₁ и S₂ воспользуемся теоремой подобия для скоростей. На стороне откладываем отрезок подобный отрезку ВS₁ на плане механизма и сходно с ним расположенный. Расстояние точки s₁ от точки b плана скоростей найдем из отношения

,

.

Аналогично для точки S₂: , находим мм.

Затем методом засечек (bs₁ = 25 мм, bs₂ = 18 мм) определяем положение точек s₁ и s₂ и соединяем их с полюсом плана скоростей . Получаем направления скоростей и . Величины этих векторов определяются формулами:

м/с;

м/с.

Угловая скорость звена 2 определяется равенством:

с^–1.

Для выявления направления угловой скорости звена 2 вектор скорости мысленно переносят в точку Е звена 2 и определяют согласно движению точки Е, что w₂ направлена против часовой стрелки. Указываем направление угловой скорости второго звена на плане механизма.

2. Построение плана ускорений. План ускорений также выполняется в порядке, определяемом формулой строения данного механизма.

Вектор ускорения точки В в общем случае определяется нормальной и тангенциальной составляющими:

,

где м/с²; .

Вектор нормального ускорения направлен вдоль прямой ВА от точки В к центру А, вектор тангенциального ускорения перпендикулярно прямой АВ. При w₁ = const угловое ускорение кривошипа e₁ = 0 и .

На плане ускорений (рис. 4.3.10, б) выбираем полюс и величину отрезка (40–70 мм), изображающего вектор . Выбираем масштабный коэффициент плана ускорений:

Откладывая отрезок P_ab = 70 мм ускорения точки В из полюса параллельно направлению звена АВ (от В к А), обозначают конец стрелкой и буквой b.

Для построения плана ускорений группы (2 – 3) определяем ускорение точки Е. Составим векторное уравнение, рассматривая движение точки Е по отношению к В:

.

Это уравнение содержит два неизвестных элемента: величины векторов , .

При этом векторы имеют направление ( , , ), а вектор и величину:

м/с².

Через точку ранее построенного отрезка плана ускорений проводят линию, параллельную ВЕ, и откладывают на ней отрезок , изображающий вектор ускорения , длина которого равна

.

Далее, через точку n проводят линию, перпендикулярную ВЕ (направление вектора ), а из полюса откладывают линию, параллельную направляющей АE. Пересечение указанных лучей обозначено точкой е. Отрезок изображает вектор ускорения . Соединив точки b и e, получим отрезок, соответствующий ускорению полного относительного ускорения точки Е относительно В.

По теореме подобия находим длину отрезка bs₂, определяющего положение точки S₂ на плане ускорений из условия:

;

мм.

Аналогично для точки S₁ находим

мм.

Методом засечек находим положение точек S₁ и S₂ на векторах и . С плана ускорений определяем величины ускорений:

;

;

;

.

Величину углового ускорения e₂ найдем из уравнения

.

Перенеся вектор (он направлен от n к e) в точку Е плана механизма звена 2, находим направление – против часовой стрелки.

План ускорений построен.

Практикум по теме «Силовой анализ и расчет механизмов»

Пример 1.Кривошипно-шатунный механизм (рис. 4.74)

Силы, действующие на механизм:

- движущая сила ( ) или движущий момент ( ) действуют на входное звено механизма от двигателя;

- силы ( ) или моменты ( ) полезного сопротивления;

- силы тяжести звеньев (G):

Н;

Н;

Н;

- силы «пассивных» сопротивлений (силы трения) ( ) или их моменты ( );

- силы инерции ( ) и моменты инерции ( ):

Н, ;

Н, ;

Н, .

Разбиваем механизм на структурные группы Ассура. Построим отдельно структурную группу «шатун – ползун», приложим к ней все действующие силы, включая реакции связей и , силы и моменты инерции (рис. 4.3.12).

Составляем уравнение моментов относительно точки Е:

: .

Из этой формулы можно определить тангенциальную составляющую реакции шарнира В:

Расстояния и измеряем с плана данной структурной группы. Умножая их на масштабный коэффициент m_L, получим реальные значения плеч соответствующих сил.

На основании принципа Даламбера составляем уравнение равновесия структурной группы «шатун – ползун»:

Из восьми значений сил, входящих в это уравнение, шесть известны по величине и направлению, а две только по направлению. Следовательно, возможно графическое решение этого уравнения. Для определения неизвестных составляющих строим план сил данной структурной группы (рис. 4.3.13).

Выбираем полюс и величину отрезка (10–70 мм), изображающего вектор . Выбираем масштабный коэффициент плана сил:

Откладывая отрезок из полюса перпендикулярно направлению звена ВЕ, обозначают конец стрелкой и буквой а. Далее построения ведут в следующем порядке: в направлении действия силы (противоположно линии действия ускорения ) откладываем отрезок ; из точки b в направлении действия сил и (вертикально вниз) откладываем отрезок ; из точки с в направлении действия силы (противоположно линии действия ускорения ) откладываем отрезок ; из точки d в направлении действия силы откладываем отрезок .

Величины указанных отрезков находят по формулам:

мм;

мм;

мм;

мм.

Затем через полученную точку е проводим вертикально вверх луч, дающий направление реакции , а через полюс плана сил проводим луч, параллельный ВЕ, дающий направление реакции . Точка пересечения этих лучей – искомая точка f. Так как , то соединяя точки a и f получим направление силы .

Из плана сил определяем величины отрезков , ef и af, а также величины соответствующих сил:

Н;

Н.

Теперь произведем расчет входного звена механизма. Строим структурную группу входного звена со стойкой и прикладываем к ней все действующие силы (рис. 4.3.14). Реакция равна, но обратная по направлению, ранее определенной реакции ( ). Поскольку входное звено совершает вращательное движение, то необходимо учесть уравновешивающую силу , которая находится из уравнения моментов относительно оси вращения входного звена точки А.

:

Н.

Уравнение равновесия для данной структурной группы имеет вид

.

В этом уравнении неизвестны величина и направление реакции .

Строим план сил структурной группы входного звена (рис. 4.3.15). Последовательность построения аналогична предыдущему случаю. Выбираем длину отрезка, соответствующего силе , произвольно в пределах от 30 до 100 мм. Выбираем масштабный коэффициент этого плана сил:

Далее находим величины отрезков, соответствующих известным силам :

мм;

мм;

мм.

Отрезки откладываем, начиная с полюса , в направлении, параллельном силам, которым они соответствуют. Замыкая многоугольник (соединяя точки d и ), получим направление реакции . Ее величину определим по формуле

Н.

Планы сил построены.

Пример 2. Произвести силовой расчет шестизвенного рычажного механизма

Рассматривается кинетостатический расчет шестизвенного рычажного механизма (рис. 4.3.16). Дано m_i, J_Si, l_i, F_C5, a_Si, j_i, e_i, необходимо определить F_ij, M_g1. Решение поставленной задачи осуществляется методом кинетостатики. Решение векторных уравнений сил проводится графическим методом, а уравнения моментов решаются аналитически. Таким образом, в данном примере для решения уравнений кинетостатики используется графо-аналитический метод.

Уравнения кинестатического равновесия:

F_i + F_Фi = 0; M_i + M_Фi = 0,

где F_Фi – инерционные силы, приложенные к звеньям;

M_Фi – моменты сил инерции, приложенные к звеньям.

1. Определение числа неизвестных при силовом расчете

Для определения числа неизвестных, а, следовательно, и числа независимых уравнений, при силовых расчетах необходимо провести структурный анализ механизма и определить число и классы кинематических пар, число основных подвижностей, число избыточных связей. Чтобы силовой расчет можно было провести, используя только уравнения кинетостатики, необходимо устранить в нем избыточные связи. В противном случае, к системе уравнений кинетостатики необходимо добавить уравнения деформации звеньев, необходимые для раскрытия статической неопределимости механизма. Так как каждая связь в КП механизма соответствует одной компоненте реакции, то число неизвестных компонент равно суммарному числу связей, накладываемых КП механизма. Уравновешивающая сила или момент должны действовать по каждой основной подвижности механизма. Поэтому суммарное число неизвестных в силовом расчете определяется суммой связей в КП механизма и его основных подвижностей:

n_s = W₀ + S(H – i)p_i,

где n_s – число неизвестных в силовом расчете.

2. Определение сил тяжести:

G_i = m_ig_i.

3. Определение главных векторов и главных моментов сил инерции:

Ф_i = –m_ia_Si;

M_Фi = –I_Sie_i.

4. Кинетостатический силовой расчет механизма:

4.1. Силовой расчет группы звеньев 4 – 5.

В начале рассмотрим звено 4 (рис. 4.3.17) и запишем векторное уравнение сил:

.

Из этого уравнения следует, что сила и приложена в точке E к звену 4.

Сумма моментов для звена 4 относительно точки E позволяет вычислить момент в поступательной паре E, образованный звеньями 4 и 3:

M₄₃ = 0.

Рассмотрим группу звеньев 4 – 5:

Векторное уравнение сил для группы звеньев 4 – 5 (рис. 4.3.18) дает возможность определить модули векторов сил F₄₃ и F₅₀.

.

Строим план сил в масштабе m_F и находим

F₄₃ = ab /m_F;

F₅₀ = bp_F / m_F .

Для определения реактивного момента в поступательной паре Q составим уравнение моментов для звенев 4 – 5 относительно точки Q:

;

–M₅₀ + F₄₃h_QF43 + G₅l_S5Q = 0.

из последнего уравнения определяем M₅₀.

4.2. Силовой расчет группы звеньев 2 – 3 (рис. 4.3.19).

Рассмотрим звено 2:

;

–M_Ф2 + G₂h_CG2 – Ф₂h_CФ2 – l_BC = 0.

Из этого уравнения определяем тангенциальную составляющую . Рассмотрим сумму моментов для группы звеньев 2 – 3 относительно точки D:

–M_Ф2 + G₂h_DG2 + Ф₂h_DФ2 + M_Ф3 – h_DF21t –

– h_DF21n – G₃h_DG3 + Ф₃h_DФ3= 0.

Из этого уравнения определяем нормальную составляющую .

Полная реакция в паре B равна:

.

Векторное уравнение сил для группы 2 – 3 позволяет графически определить вектор F₃₀ по величине и направлению (рис. 4.3.20).

Строим план сил в масштабе m_F (см. рис. 4.3.20) и находим F₃₀ = cp_F / m_F.

Рассмотрим векторное уравнение сил для звена 2:

из которого находим : F₂₃ = dc / m_F.

4.3. Силовой расчет начального звена 1 (рис. 4.3.21).

Из векторного уравнения сил для звена 1 графически определяем вектор F₁₀ по величине и направлению:

Строим план сил (рис. 4.3.22) в масштабе m_F и находим

F₁₀ = cp_F / m_F.

Сумма моментов для звена 1 относительно точки A дает возможность найти значение движущего момента M_д1:

–F₁₂h_AF12 + M_д1 + M_Ф1 = 0.

Итак, с помощью графо-аналитического способа мы определили величины и направления реакций в кинематических парах, величины реактивных моментов и значение уравновешивающего момента данного механизма.

Практикум по теме «Синтез механизмов»

Пример 1.Аналитическое определение передаточного отношения.

В планетарном редукторе, изображенном на рис. 4.3.23, на звене 2 нарезаны два зубчатых венца: z₂, который зацепляется с зубчатым венцом z₁ звена 1; z₃, который зацепляется с внутренним зубчатым венцом z₄ звена 3.

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внешнего зацепления колес z₂ и z₁:

(w₁ – w_h)/(w₂ – w_h) = –z₂ / z₁;

для внешнего зацепления колес z₄ и z₃

(w₂ – w_h) / (w₃ – w_h) = –z₄ / z₃.

Перемножим правые и левые части этих уравнений и получим

[(w₁ – w_h) / (w₂ – w_h)][( w₂ – w_h) / (w₃ – w_h)] = z₂z₄ / z₁z₃ ;

[(w₁ – w_h) / (–w_h) ] = z₂z₄ / z₁z₃;

= w₁ / w_h = 1 – z₂z₄ / z₁z_3.

Пример 2.Графическое определение передаточного отношения двухрядного механизма с двумя внешними зацеплениями.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: