Угол между двумя плоскостями

Если коэффициенты и плоскостей

;

не пропорциональны, то плоскости P₁ и P₂ пересекаются по некоторой прямой L. Проведем плоскость P, перпендикулярную к линии L. Эта плоскость пересекается с P₁ и P₂ по прямым и . Угол j между прямыми и называется углом между плоскостями P₁ и P₂.

Поскольку и , то угол между векторами и ( ) равен углу j между плоскостями P₁ и P₂. Тогда равенство

(5.7)

и определяет косинус искомого угла между плоскостями P₁ и P₂.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть задана точка и плоскость . Расстояние от точки до плоскости P находится по формуле

. (5.8)

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки до прямой.

Пример 5.3. Установить взаимное расположение заданных плоскостей. Если плоскости параллельные, то найти расстояние между плоскостями; если плоскости пересекаются, найти угол между плоскостями:

и ;
и .

Решение. 1) Определяем координаты нормальных векторов данных плоскостей: и . Так как выполняется условие , то плоскости P₁ и P₂ параллельны.

Например, в плоскости P₂ выберем точку M, принадлежащую этой плоскости. Для этого, например, придадим переменным x и y значения равные нулю, т.е. и , и найдем z: Þ . Значит . Найдем расстояние от точки M до плоскости P₁:

2) Определяем координаты нормальных векторов данных плоскостей: и . Так как выполняется условие , то плоскости P₁ и P₂ не являются параллельны. Значит, они пересекаются.

Используя формулу (5.8) находим косинус угла между этими плоскостями:

Тогда .

6. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

В ПРОСТРАНСТВЕ

Канонические и параметрические уравнения прямой

Прямая L в пространстве определяется однозначно, если:

а) известны точка, через которую она проходит, и ненулевой вектор, параллельный прямой;

б) или известны две точки этой прямой.

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через точку , и параллельной вектору . Вектор называется направляющим вектором прямой.

. (6.1)

Равенства (6.1) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пусть и -радиус-векторы точек и соответственно. Тогда три вектора , и связаны соотношением

. (6.2)

Так как векторы и коллинеарны, то существует число , такое, что . Тогда из уравнения (6.2) имеем

. (6.3)

Соотношение (6.3) называется векторным параметрическим уравнением прямой в пространстве. В координатной форме уравнение (6.3) равносильно трем уравнениям

, , (6.4)

Равенства (6.4) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Замечание. Уравнение (6.1) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (6.4), исключив параметр . Из уравнений (6.4) находим

.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Векторы . Тогда

. (6.5)

Равенство (6.5) называется уравнением прямой, походящей через две точки и .

Общие уравнения прямой в пространстве

Прямую в пространстве можно однозначно определить пересечением двух плоскостей

, (6.4)

нормальные векторы и которых не параллельны. Уравнения (6.4) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Так как прямая L перпендикулярна векторам и , то за направляющий вектор прямой L можно принять векторное произведение :

.

Пример 6.1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной в общем виде

.

Решение. Находим направляющий вектор данной прямой, если и :

.

Пусть , тогда получаем и решаем систему уравнений . Находим точку . Используя равенства (6.1) получаем канонические уравнения прямой

.

Из условия получаем следующие параметрические уравнения прямой L:

.

,

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

В пространстве две прямые могут:

1) совпадать;

2) быть параллельными;

3) пересекаться;

4) быть скрещивающимися.

Чтобы изучить взаимное расположение двух прямых в пространстве, воспользуемся их каноническими уравнениями.

Пусть даны две прямые: