Угол между двумя плоскостями
Если коэффициенты и плоскостей
;
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza3/717470308848.files/image1277.gif)
не пропорциональны, то плоскости P1 и P2 пересекаются по некоторой прямой L. Проведем плоскость P, перпендикулярную к линии L. Эта плоскость пересекается с P1 и P2 по прямым и . Угол j между прямыми и называется углом между плоскостями P1 и P2.
Поскольку и , то угол между векторами и ( ) равен углу j между плоскостями P1 и P2. Тогда равенство
(5.7)
и определяет косинус искомого угла между плоскостями P1 и P2.
Расстояние от точки до плоскости
Пусть задана точка и плоскость . Расстояние от точки до плоскости P находится по формуле
. (5.8)
Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки до прямой.
Пример 5.3. Установить взаимное расположение заданных плоскостей. Если плоскости параллельные, то найти расстояние между плоскостями; если плоскости пересекаются, найти угол между плоскостями:
-
и ; -
и . Решение. 1) Определяем координаты нормальных векторов данных плоскостей: и . Так как выполняется условие , то плоскости P1 и P2 параллельны.
Например, в плоскости P2 выберем точку M, принадлежащую этой плоскости. Для этого, например, придадим переменным x и y значения равные нулю, т.е. и , и найдем z: Þ . Значит . Найдем расстояние от точки M до плоскости P1:
.
2) Определяем координаты нормальных векторов данных плоскостей: и . Так как выполняется условие , то плоскости P1 и P2 не являются параллельны. Значит, они пересекаются.
Используя формулу (5.8) находим косинус угла между этими плоскостями:
.
Тогда .
,
6. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Канонические и параметрические уравнения прямой
Прямая L в пространстве определяется однозначно, если:
а) известны точка, через которую она проходит, и ненулевой вектор, параллельный прямой;
б) или известны две точки этой прямой.
Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через точку , и параллельной вектору . Вектор называется направляющим вектором прямой.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza3/717470308848.files/image1352.gif)
. (6.1)
Равенства (6.1) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Пусть и -радиус-векторы точек и соответственно. Тогда три вектора , и связаны соотношением
. (6.2)
Так как векторы и коллинеарны, то существует число , такое, что . Тогда из уравнения (6.2) имеем
. (6.3)
Соотношение (6.3) называется векторным параметрическим уравнением прямой в пространстве. В координатной форме уравнение (6.3) равносильно трем уравнениям
, , (6.4)
Равенства (6.4) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Замечание. Уравнение (6.1) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (6.4), исключив параметр . Из уравнений (6.4) находим
.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza3/717470308848.files/image1382.gif)
Векторы . Тогда
. (6.5)
Равенство (6.5) называется уравнением прямой, походящей через две точки и .
Общие уравнения прямой в пространстве
Прямую в пространстве можно однозначно определить пересечением двух плоскостей
, (6.4)
нормальные векторы и которых не параллельны. Уравнения (6.4) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Так как прямая L перпендикулярна векторам и , то за направляющий вектор прямой L можно принять векторное произведение :
.
Пример 6.1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной в общем виде
.
Решение. Находим направляющий вектор данной прямой, если и :
.
Пусть , тогда получаем и решаем систему уравнений . Находим точку . Используя равенства (6.1) получаем канонические уравнения прямой
.
Из условия получаем следующие параметрические уравнения прямой L:
.
,
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
В пространстве две прямые могут:
1) совпадать;
2) быть параллельными;
3) пересекаться;
4) быть скрещивающимися.
Чтобы изучить взаимное расположение двух прямых в пространстве, воспользуемся их каноническими уравнениями.
Пусть даны две прямые:
и ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza3/717470308848.files/image1424.gif)
с направляющими векторами и соответственно.
Все возможные ситуации удобно исследуются по изучению взаимного расположения трех векторов: , и , где .
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza3/717470308848.files/image1440.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza3/717470308848.files/image1444.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza3/717470308848.files/image1447.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza3/717470308848.files/image1449.gif)
Угол между двумя прямыми
Углом между двумя прямыми L1 и L2 называют любой из смежных углов, образуемых при их пересечении.
Пусть даны две прямые:
и ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza3/717470308848.files/image1424.gif)
с направляющими векторами и соответственно.
Тогда
. (6.5)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|