Полярная система координат

Декартова система координат

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей.

Система координат обозначается , а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку плоскости . Радиус-вектором точки называется вектор , начало которого совпадает с началом заданной системы координат. Всяка точка на плоскости однозначно определяется своим радиус-вектором.

Координатами точки (обозначается ) называются проекции ее радиус-вектор на координатные оси, т.е.

Координата называется абсциссой, - ординатой точки . Эти два числа и полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел соответствует единственная точка , и наоборот.

Повторение некоторых сведений

Из раздела «Элементы векторной алгебры»

1. Расстояние между двумя точками

Если даны точки и , то координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала, т.е.

.

Расстояние между двумя точками находится по следующей формуле:

.

2. Деление отрезка в заданном отношении

Если точка делит отрезок , где и , в отношении , то координаты точки определяются по следующей формуле:

, .

В частности, если точка делит отрезок пополам, т.е. , то

, .

3. Условие коллинеарности двух векторов

Если два вектора лежат на одной или параллельных прямых, то они называются коллинеарными, т.е. .

Пусть и . Если , то можно записать , где - некоторое действительное число. Тогда

.

4. Условие перпендикулярности двух векторов

Ненулевые векторы и перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е.

.

По определению скалярного произведения

, где .

Тогда

.

Преобразование системы координат

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

1.Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат . Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат к новой системе , при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остается неизменными.

Пусть начало новой системы координат точка имеет координаты в старой системе координат , т.е. .

2. Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остается неизменным.

, или .

Получаем координаты точки в системе :

.

Тогда

.

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определить старые координаты произвольной точки через новые координаты этой же точки , и наоборот.

На плоскости возможны одновременно два вида преобразований: параллельный перенос и поворот осей координат.

Полярная система координат

Декартовая система координат дает удобный, но не единственный способ определения положения точек плоскости при помощи чисел.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой , которая называется полюсом, лучом , называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч .

Числа r и j называются полярными координатами точки , пишут , при этом r называют полярным радиусом, j - полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол j ограничить промежутком (или ), а полярный радиус - . В этом случае каждой точке плоскости (кроме ) соответствует единственная пара чисел r и j, и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами.

, где .

Если эти формулы разрешить относительно r и j, то получим следующие формулы:

Чтобы определить величину угла j, лучше использовать формулу , при этом устанавливается (по знакам и ) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывается, что (или ).

Пример 1.1. Построить точки, заданные полярными координатами:

Найти координаты точек в декартовой системе координат.

Решение.

Пример 1.2. Найти полярные координаты точки .

Решение. , следовательно, точка лежит в третьей четверти. Находим r и j:

Þ .

Учитывая, что , получаем . Таким образом, получаем точку .

Линии на плоскости

Выше были введены координаты точек (декартовы или полярные) на плоскости, т.е. указан способ задания точек с помощью пары чисел. Метод координат в геометрии в том и состоит, что посредством координат точек геометрические объекты задают аналитически с помощью чисел, уравнений, неравенств или их систем. А это дает возможность при решении задач, доказательстве теорем использовать аналитические методы.

Метод координат на плоскости используется в геометрии для изучения линий. Линия (или кривая) плоскости задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, прямая, окружность, парабола, синусоида и т.д.

Линию (кривую) на плоскости можно задать:

1) уравнением в декартовой системе ;

2) уравнением в полярной системе координат;

3) параметрически;

4) векторным уравнением.

Уравнением линии (или кривой) на плоскости называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты и каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Так, для того чтобы установить, лежит ли точка на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и , сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т.е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Уравнение называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать параметрически при помощи двух уравнений:

где и - координаты произвольной точки , лежащей на данной линии, а - переменная, называемая параметром; параметр определяет положение точки на плоскости. Если параметр изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Система из двух уравнений называется параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида , надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр . Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Пример 1.3. Построить линию, которая задана параметрически:

Составить уравнение линии в декартовой и полярной системе координат

Решение.

В первом уравнение выразим через , и подставим во второе уравнение:

Þ или

В полученное уравнение в декартовой системе координат подставляем , , и выражаем :

;

- уравнение данной прямой в полярной системе координат.

Пример 1.4. Составить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом : в декартовой, в полярной системе координат и параметрически.

Решение. Напомним, что окружность радиуса есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстоянии от некоторой фиксированной точки (центра окружности).

В уравнение окружности в декартовой системе координат вместо и подставляем , , и выражаем :

;

- уравнение окружности в полярной системе координат.

В качестве параметра можно взять угол поворота точки при движении по окружности. Тогда

- параметрические уравнения окружности. ,

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где - скалярный переменный параметр. Каждому значению соответствует определенный вектор плоскости. При изменении параметра конец вектора описывает

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линии – траекторией точки, параметр при этом есть время.

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи:

1) зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение;

2) зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

Приведем примеры некоторых кривых, и укажем их уравнения:

2. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

Общее уравнение прямой

Положение прямой на плоскости вполне определено, если известны точка , через которую она проходит, и ненулевой вектор , перпендикулярный к этой прямой.

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через точку , и перпендикулярную вектору . Вектор называется нормальным вектором прямой.

. (2.1)

Соотношение (2.1) удовлетворяет координатам тех и только тех точек плоскости , которые принадлежат прямой . Формула (2.1) называется уравнением прямой с нормальным вектором и проходящей через точку .

Раскрыв скобки в уравнении (2.1), получим

, (2.2)

где . Уравнение (2.2) называется общим уравнением прямой с нормальным вектором .

Общее уравнение прямой (2.2) называется полным, если все его коэффициенты отличны от нуля. Если же хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным. Рассмотрим возможные случаи неполных уравнений: