Общее уравнение плоскости

Положение плоскости P в пространстве вполне определено, если известны точка , принадлежащая ей, и ненулевой вектор , перпендикулярный к этой плоскости.

Постановка задачи: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , и вектор , перпендикулярный к этой плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

. (5.1)

Равенство (5.1) называется уравнением плоскости с нормальным вектором и проходящей через точку .

Раскрыв скобки в уравнении (5.1), получим

, (5.2)

где .

Уравнение (5.2) называется общим уравнением плоскости с нормальным вектором .

Общее уравнение плоскости (5.2) называется полным, если все его коэффициенты и отличны от нуля. Если же хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным. Рассмотрим возможные случаи неполных уравнений:

1) при уравнение определяет плоскость, проходящую через начала координат;

2) при уравнение с нормальным вектором , перпендикулярным к оси , определяет плоскость, параллельную оси (или содержащую ее, если );

при уравнение с нормальным вектором , перпендикулярным к оси , определяет плоскость, параллельную оси (или содержащую ее, если );

при уравнение с нормальным вектором , перпендикулярным к оси , определяет плоскость, параллельную оси (или содержащую ее, если );

3) при уравнение Û с нормальным вектором параллельным оси , определяет плоскость, параллельную плоскости и пересекающую ось в точке . Если , то уравнение определяет плоскость .

при уравнение Û с нормальным вектором параллельным оси , определяет плоскость, параллельную плоскости и пересекающую ось в точке . Если , то уравнение определяет плоскость .

при уравнение Û с нормальным вектором параллельным оси , определяет плоскость, параллельную плоскости и пересекающую ось в точке . Если , то уравнение определяет плоскость .

Уравнение плоскости,

Параллельной двум данным векторам

Постановка задачи: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , и параллельной двум векторам и , неколлинеарных между собой.

. (5.3)

Равенство (5.3) является уравнением плоскости, параллельной векторам и и проходящей через точку .

Параметрические уравнения плоскости

Пусть плоскость P определяется двумя неколлинеарными векторами и и точкой .

или

. (5.4)

Уравнения (5.4) называются параметрическими уравнениями плоскости.

Уравнение плоскости,

Проходящей через три точки

Постановка задачи: Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , и .

или, используя формулу смешанного произведения в координатной форме, получаем следующее равенство

. (5.5)

Равенство (5.5) является уравнением плоскости, проходящей через три точки , и .

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость на осях , и отсекает отрезки длиной , и соответственно.

Раскрыв определитель, имеем , т.е.

или

. (5.6)

Равенство (5.6) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Этим уравнением удобно пользоваться при построении плоскости.

Пример 5.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и ось .

Решение. Способ 1. Так как плоскость проходит через ось , то в этой плоскости лежит орт . В этой плоскости лежит и вектор .

По формуле (5.1) составляем уравнение плоскости:

Þ .

Способ 2. Так как плоскость проходит через ось , то уравнение плоскости в общем виде . Так как точка принадлежит плоскости, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению искомой плоскости, т.е. Þ , где . Таким образом уравнение плоскости примет вид:

Þ .

Способ 3. Так как плоскость проходит через ось , то на этой плоскости кроме точки можно взять точки и , принадлежащие оси .

По формуле (5.5) составляем уравнение плоскости:

Þ .

Способ 4. Так как плоскость проходит через ось , то эта плоскость параллельна векторам и .

По формуле (5.3) составляем уравнение плоскости:

Þ .

Пример 5.2. Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость

Решение. Приведем данное уравнение к уравнению в отрезках:

Þ Þ .

Отсюда получаем, что на оси плоскость отсекает отрезок , на оси - отрезок , на оси - отрезок .

Расположение двух плоскостей

Условия параллельности и перпендикулярности

Двух плоскостей

Пусть две плоскости P₁ и P₂ заданы своими общими уравнениями:

;

Если плоскости P₁ и P₂ параллельны, то параллельны и их нормальные векторы и . Отсюда, учитывая условие параллельности векторов, получаем условие параллельности двух плоскостей:

Þ Û .

Если , то и, значит, условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид:

Þ Û Û .

1 2 345

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: