Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение вида

(2.3)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение (2.3) можно получить из общего уравнения (2.2) при . Действительно, из (2.2) имеем . Обозначив , придем к уравнению (2.3).

Выясним геометрический смысл углового коэффициента прямой .

или

.

Итак, и . Сравнивая два уравнения, получаем .

Угловой коэффициент k прямой численно равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси , т.е. .

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом k.

, или

. (2.4)

Равенство (2.4) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку .

Каноническое уравнение прямой

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через точку , и параллельной вектору . Вектор называется направляющим вектором прямой.

На прямой L возьмем произвольную точку . Найдем координаты вектора : . . Тогда . (2.5)

 

Равенство (2.5) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

 

Параметрические уравнения прямой

Так как векторы и коллинеарные, то существует такое число , что . Значит,

, или

. (2.6)

Уравнение (2.6) называется параметрическими уравнениями прямой на плоскости, проходящей через точку с направляющим вектором .

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .

. (2.7)

Равенство (2.7) называется уравнением прямой, походящей через две точки и .

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая L на осях координат и отсекает отрезки длиной и соответственно.

. (2.8)

Равенство (2.8) называется уравнением прямой в отрезках на осях.

Пример 2.1. Даны вершины . Сделать рисунок. Найти: 1) уравнение стороны ;

2) уравнение медианы ;

3) уравнение высоты ;

4) координаты точки пересечения медианы и высоты .

Решение. 1) Воспользуемся уравнением (2.7):

Þ Þ .

Итак, - уравнение стороны .

2) Находим координаты точки - середины :

; .

Следовательно, . Используя формулу (2.7), находим уравнение медианы :

Þ Þ .

Итак, - уравнение медианы .

3) Рассмотрим вектор . Вектор , т.е - нормальный вектор прямой . Чтобы составить уравнение высоты , воспользуемся формулой (2.1):

Þ .

Итак, - уравнение высоты .

4) Чтобы найти координаты точки , где , то составляем и решаем систему уравнений

Þ Þ .

Итак, - точка пересечения медианы и высоты .

,

Пример 2.2. Найти угол наклона к оси прямой L, если

.

Решение. Запишем уравнение прямой через угловой коэффициент:

Þ Þ .

Значит, . Следовательно, . ,

Расположение двух прямых на плоскости

Пусть заданы уравнения двух прямых и . Чтобы определить координаты точки пересечения составляют и решают систему уравнений:

.

Если система уравнений не имеет решений, то две прямые параллельны. Если система уравнений имеет бесчисленное множество решений, то две прямые совпадают.

Условия параллельности двух прямых

Способы задания уравнений прямых	Условия параллельности
1. и . и - нормальные векторы	Û Û условия параллельности двух прямых, заданных общими уравнениями
2. и . и - угловые коэффициенты	Û Û условия параллельности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами
3. и . и - направляющие векторы	Û Û условия параллельности двух прямых, заданных канонически

Условия перпендикулярности двух прямых

Способы задания уравнений прямых	Условия перпендикулярности
1. и . и - нормальные векторы	Û Û условия перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями
2. и . и - угловые коэффициенты	Û условия перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами
3. и . и - направляющие векторы	Û Û условия перпендикулярности двух прямых, заданных канонически

Угол между двумя прямыми

Под углом j между двумя прямыми и будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельна другой прямой или совпала с ней. Ясно, что , т.е. .

Угол между двумя прямыми находится с учетом того, каким способом заданы уравнения прямых.

Способы задания уравнений прямых
1. и . и - нормальные векторы;	. С условием того, что , то выражение для берется по абсолютной величине, т.е. .
2. и . и - угловые коэффициенты	. С условием того, что , то выражение для берется по абсолютной величине, т.е. .
3. и . и - направляющие векторы	. С условием того, что , то выражение для берется по абсолютной величине, т.е. .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: