Локальный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

1. Найти экстремумы функции

z=x²-xy+y²+9x-6y+20.

Решение.Данная функция существует при x R и y R. Вычислим ее частные производные z_x^/ = 2x – y + 9, z_y^/ = -x + 2y – 6. Решая систему уравнений , найдем критическую точку М(-4,1). Вычислим вторые частные производные =2 (обозначим А), =2 (обозначим С), =-1(обозначим В). Тогда дискриминант равен АС-В² = 2*2-1=3 > 0. Следовательно, есть экстремум, и так как А = 2, то функция имеет минимум z (- 4, 1) = -1. Ответ. Минимум z (- 4, 1) = -1.

2. Найти экстремумы функции z = x³+ 4x +y² при условии y = 2 – x.

Решение.Данная функция существует при x R и y R. Подставим
y = 2 – x в функцию z = x³ + 4х + y², получим z = x³ +x² + 4.

Найдем экстремум этой функции. Для этого вычислим ее производную и приравняем к нулю. Получим z^/ = 3x² +2x, 3x² +2x =0. Решением уравнения является х = 0 и х = - 2/3. Исследование знака производной и поведение функции на интервалах запишем в таблицу

Следовательно, при х=-2/3 функция имеет максимум, равный 112/27, а при х=0 имеет минимум z=0.

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной линиями х =0, у =0, х+у =-3.

Решение. Вычислим частные производные данной функции, получим , . Приравниваем их к нулю и решаем систему уравнений и . Получим критическую точку М₁(-1,-1), и значение функции в ней будет равно z(М₁) = -1. Исследовать ее на экстремум не следует, так как, если функция имеет наибольшее или наименьшее значения, то они достигаются либо в критических точках, принадлежащих указанной области, либо на границе области. Поэтому далее мы будем исследовать функцию на границе области.

1). Пусть х = 0, у [-3, 0]. Тогда . Требуется найти критические точки функции z на выбранной границе, а также вычислить ее значение на концах отрезка. Для этого вычислим ее производную, приравняем к нулю, получим , или . Таким образом, критическая точка на границе М₂(0,-1/2) и z (М₂) = -1/4. Вычислим значения функции на концах отрезка z (0, 0) = 0, z (0,-3) = 6.

2). Пусть у = 0, х [-3, 0]. Тогда . Проводим исследование, аналогичное предыдущему. Получим критическую точку М₃ (-1/2, 0) и z (М₃) = -1/4. Вычисляем значение функции на одном конце отрезка, так как на другом уже вычислили, получим z (-3, 0) = 6.

3). Пусть у=-3-х, х [-3, 0]. Тогда , и М₄(-3/2, -3/2) – критическая точка. Значение функции в этой точке равно
z (М₄) = -3/4.

Сравним значения функции в найденных точках и выберем из них наибольшее и наименьшее значения. Z_наиб = 6 достигается в точках (-3,0) и (0,-3). Z_наим = -1 достигается в точке (-1, -1).

4. Найти квадратичную зависимость (МНК) для следующих данных

Решение. Составим вспомогательную таблицу

n	xi	yi	xi2	xi3	xi4	xi yi	xi2 yi
	1.7		2.89	4.913	8.3521	45.9	78.03
	1.9		3.61	6.859	13.0321	47.5	90.25
	2.0						76.0
	2.1		4.41	9.261	19.4481	18.9	39.69
	7.7		14.91	29.033	56.8323	150.3	283.97

Параметры определяем из системы

,

получаем а = 0,02, b = -16,64, с = -6,67. Тогда искомое уравнение у =0,02 х² -- 16,64 х - 6,67. Ответ. у = 0,02 х² - 16,64 х - 6,67.

Задания для аудиторной работы

1. Исследовать на экстремум функции:

а)z=xy²-xy-xy³, x>0, y>0, б)

2. Найти экстремум функции при условии, что .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х-2у+5, в прямоугольнике , , х+у≤1.

4. Применяя метод наименьших квадратов, найти эмпирическую формулу для приближенного представления функции заданной таблицей

5. Зависимость между сроком эксплуатации автомобиля и мощностью двигателя представлена в следующей таблице

Найти эмпирическую формулу линейной зависимости.

Семинарское занятие 4.3.

Двойные интегралы

1. Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования в интеграле

.

Решение. По пределам интегрирования построим область интегрирования D (рис. 11 а). Она ограничена снизу линией , сверху линией , а справа и слева соответственно х = 0, х = 2а. Линия есть расположенная над осью Ох половина окружности с центром в точке (а, 0) и радиусом R = a. Линия – ветвь параболы, расположенная над осью Ох. При изменении порядка интегрирования область D разбиваем на три области линией у = а (рис.11 б).

а) б)

Рис. 11

Линия у = а касается окружности в точке (а, а). Так как интегрируем сначала по х, то найдем х как функцию у из уравнений параболы и окружности. Получим

и .

Вычислим интегралы по выделенным областям.

Будем иметь ,

, .

Взяв сумму интегралов, получим =

= + + .

2. Область D ограничена линиями у = 2, у = х, у =5- , х= 0,

х= 4. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле по этой области.

Рис. 12.

Решение.Построим данную область D (рис. 12).

Область D₁ ограничена сверху прямой у=х, снизу окружностью у = 5 - , центр которой в точке (0, 5), R=5. Область D₂ ограничена сверху прямой у = 2, а снизу той же окружностью. Если предстоит интегрировать сначала по х, а затем по у,то область D₁ и D₂ можно объединить в одну область D. Найдем х как функцию у из уравнения окружности . Для данной области надо брать со знаком «+», то есть или .

Тогда .

Если предстоит интегрировать сначала по у, а затем по х, то повторный интеграл запишется в виде

+ .

3. Вычислить , где область D ограничена линиями, заданными уравнениями у=1/х, у = х и х = 2.

Рис. 13.

Решение. Построим область D (рис. 13): 1 ≤ х ≤ 2, 1/х ≤ у ≤ х. Тогда = . Интегрируем внутренний интеграл при фиксированном (постоянном) х, находим

= = =9/4.

4. Вычислить , где область D ограничена линиями, заданными уравнениями у² = 2с²х, с²х² + у² = 3с², у ≥ 0, с > 0.

Решение. Построим область D (рис. 14).

Парабола у² = 2с²х, симметричная относительно Ох, проходящая через точку (0, 0), с²х² + у² = 3с² – эллипс, имеющий полуоси а = и b = c . Найдем координаты точки их пересечения. Для этого решим систему . Введем обозначение у² = z, тогда

Рис. 14.

или . Корни этого уравнения есть , . И так как , то выбираем только , то есть или . Ему соответствует значение х = 1.

Тогда = = = = = = .

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у² = 8 х + 16 и у² = -2х + 6.

Решение. Площадь фигуры вычисляется по формуле , где D – область, ограниченная параболами (рис. 15). Параболы пересекаются в точках (-1,-2 ), (-1, 2 ).

Рис. 15.

= = =

= = = = = 5 (2 + 2 ) - (16 + 16 ) = = (кв. ед.).

6. Нарисовать тело, объем которого выражается двойным интегралом . Найти объем этого тела.

Решение.Исходя из пределов интегрирования, область D ограничена линиями х = 0, х = 1, у = 0, у = 1-х. Она является основанием искомого тела. Образующая, перпендикулярная плоскости Оху, передвигаясь вдоль границы области D, оставляет за собою след – цилиндрическую поверхность. Подынтегральная функция есть z = 1-x-y, геометрическое изображение которой представляется поверхностью, накрывающей сверху описанную цилиндрическую поверхность (рис. 16).

Рис. 16.

= = = = =

= = = =1/6 (куб. ед.).

7. Найти объем тела, ограниченного цилиндром х² +z² = a² и плоскостями у = 0, z = 0, у = х. Сделать рисунок.

Решение. х² +z² = a² – цилиндр с образующей, параллельной оси Оу, у = 0, z = 0 – координатные плоскости, у = х. – плоскость, проходящая через ось Оz и прямую у = х, принадлежащую координатной плоскости Оху (рис. 17)

= = = = = .

Рис. 17.

Задания для аудиторной работы

1. Построить область и изменить порядок интегрирования в интеграле .

2. Вычислить , где область D ограничена линиями у=2-х², у = х, у = 6-х².

3. Вычислить , где область D ограничена линиями у=х, у =2х, у = -х+4.

4. Вычислить , где область D ограничена линиями у=е^х, у =е^2х , х=2.

5. Вычислить , где область D ограничена линиями ху=1, у=0, х=2, х=3.

6. Вычислить , где область D ограничена линиями у=х², х=2, у = 4х².

7. Вычислить площадь области D, ограниченной линиями, заданными уравнениями у = х и у = 4х – х².

8. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 1+x²+y² и z = 5.

Контролирующий блок

Тест

1. Область определения функции есть…

A. половина плоскости, расположенная над прямой
у = -x, не включая самой прямой;

B. вся плоскость Oxy, кроме точек прямой линии x = -у;

C. все точки двух углов между биссектрисами x = ±у, заключающими внутри себя ось Ox;

D. вся плоскость Oxy, кроме точек прямых x = 0 и у = 0;

E. точки прямой x = -у.

2. Область определения функции изображена на рисунке …

A. B. C. D. E.

3. Найти уравнение линий уровня функции z = y(1+x)/(1-x).

A. y =1+(C/x)²; B. ; C. ;

D. y = x²(C+1); E. .

4. Какая из линий является линией уровня функции z = y²-x для z = 1?

A. ; B. ; C. ;

D. ; E. .

5. График, какой функции, изображен на рисунке

A. ; B. ; C. x + y + z = 6; D. ; E. z = x2 + y2.

6. Чему равен предел ?

A. Не существует, B. ∞, C. 0, D. 2, E. Ответ отличен от приведенных.

7. Вычислить предел .

A. Не существует, B. ∞, C. 0, D. 1, E. Ответ отличен от приведенных.

8. По определению частной производной функции z=f(x,y) по переменной х является …

A. ∆_хz= f(x+∆x, y)- f(x, y); B. z^/_x= ; С. z^/_x= ;
D. ∆z= f(x+∆x, y+∆у)- f(x, y); E. Ответ отличен от приведенных.

9. Найти z ^/_x функции z =xy/(x+y).

A. z ^/_x= (xy/(x+y))²; B. z ^/_x= y/(x+y); C. z ^/_x= (2y/(x+y))²;

D. z ^/_x= (2x/(x+y))²; E. z ^/_x= (y/(x+y))².

10. Найти z ^/_y функции z = ln^xy.

A. z ^/_y= ; B. z ^/_y= ; C. z ^/_y= ;
D. z ^/_y= ; E. z ^/_y= 1/xy.

11. Найти дифференциал функции z = x²y-y²x.

A. (2xy-y²)dx; B. (x²-2xy)dy; C. (2xy-y²)dx+(x²-2xy)dy;
D. (2xy-y²)·(dx+dy); E. (dy+dx)·(x²-2xy).

12. Найти полную производную функции z = y , где x = e^t, y = sin t.

A. e^t/2(sin t + 2cos t)/2; B. 3e^3t+1sin t; C. (2t+1)/(t² + t);
D. e^t(t+1)cost; E. e^2t(2t² + cost).

13. Найти , если z=х-е^ху.

A. 1-e^xy, B. -e^xy, C. y, D. e^x, E. –e^x.

14. z = sinx tgy. =…

A. cosx/cosy; B. cosx tgy; C. cosx/cos²y; D. sinx/cos²y;
E. cosx - cos²y.

15. Какая область является элементарной относительно оси Ox?

1) 2) 3)

A. 1); B. 2); C. 3); D. Все; E. Нет среди предложенных.

16. Какое утверждение верное?

§ 1) Интегральная сумма функции z=f(x,y) на множестве D не зависит от способа разбиения множества D на элементарные ячейки и от выбора точек в каждой ячейке;

§ 2) Двойной интеграл функции z=f(x,y) на множестве D не зависит от способа разбиения множества D на элементарные ячейки и от выбора точек в каждой ячейке;

§ 3) Если f(x,y)≡1 для всех (х,у)єD, то численно равен площади области D.

A. 1) и 2); B. 1) и 3); C. 2) и 3); D. Все; E. Нет верных.

17. Дописать утверждение:

«Если функция z=f(x, y) непрерывна и неотрицательна в области D, то представляет собой…»

§ 1) объем тела, образованного поверхностью z=f(x, y);

§ 2) объем прямого цилиндрического тела (цилиндра), построенного на области D как на основании и ограниченного сверху поверхностью z=f(x, y);

§ 3) площадь области D.

A. 1); B 2); C. 3); D. 1), 2), 3); E. Нет правильных вариантов.

18. Повторный интеграл вычисляется по области D:

1) 2) 3)

A. 1); B. 2); C. 3); D. 1), 2), 3); E. Нет правильных вариантов.

19. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле функции z=f(x,y) по области D, ограниченной параболами:

А. ; B. ; C. ;
D. ; E. .

20. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

А. ; B. ; C. ;
D. ; E. + .

21. Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями х= 1, у = 4 и осями координат.

А. 4, B. 0, C. 1, D. Не существует, E. Ответ отличен от приведенных

22. Градиентом функции z = ln(x+y²) в точке М (1, 2) является grad z =…

A. {1/5,1/5}; B. {4/5,4/5}; C. {1/5,4/5}; D. {1,4/5}; E. {1/5,5}

23. Найти градиент функции z = y^x в точке М(х, у).

A. {y lny, xy^x-1}; B. {y^x lny, y^x-1}; C. {y^x lny, xy^x};
D. {y^x lnx, xy^x-1}; E. {y^x lny, xy^x-1}.

24. Найти экстремумы функции z = x² + xy + y²- 6x - 9y.

A. Экстремумов нет; B. Z_min(1, 4) = -21; C. Z_max(0, 0) = 0;

D. ∆ = 0, требуется доп. исследование; E. Z_max(-1, 0) = 7.

25. Какая из предложенных систем в методе наименьших квадратов (МНК) определяет коэффициенты линейной функции у=ах + в, аппроксимирующей заданную таблично функцию?

1) ; 2) ;

3)

A. 1), B. 2), C. 3), D. Все, E. Нет среди предложенных.

26. Что означают частные эластичности производственной функции Кобба-Дугласа z=b₀x^b1y^b2? Варианты ответов:

§ 1) Е_х(z) = b₁, E_y(z) = b₂ приближенно показывают на сколько процентов изменится выпуск продукции при изменении только затрат труда x или только объема производственных фондов y на 1%;

§ 2) Е_х(z) = b₁, E_y(z) = b₂ приближенно показывают на сколько изменится выпуск продукции при изменении только затрат труда x или только объема производственных фондов y на 1 ед.;

§ 3) Е_х(z) = b₀b₁, E_y(z) = b₀b₂ приближенно показывают на сколько процентов изменится выпуск продукции при изменении только затрат труда x или только объема производственных фондов y на 1%.

A. Ответ отличен от приведенных утверждений,

B. Неверными являются 1) и 2),

C. Неверными являются 2) и 3),

D. Неверными являются 1) и 3),

E. Все.

27. Вычислить приближенное значение 3,01^2,03, исходя из значения функции Z= x^y при х = 3, у = 2, заменяя ее приращение дифференциалом.

A. 9; B. 0,36; C. 9,06; D. 9,36; E. 9,3

28. Применяя двойной интеграл, найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х, у = 1/х, у = 0, х = е.

A. ;

B. ;

C. ;

D. ;

E. .

29. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=xy² при х²+у²≤ 3.

A. Нет наибольшего и наименьшего значений данной функции при указанном ограничении;

B. Наибольшее и наименьшее значения данной функции достигаются в экстремальных точках, лежащих на прямой у=0 при хε[- ; ];

C. Z_наим= -2 в точках (-1;± ), Z_наиб= 2 в точках (1;± );

D. Невозможно определить наибольшее и наименьшее значения функции, т.к. Δ=0, необходимы дополнительные исследования;

E. Ответ отличен от приведенных.

30. По какой формуле можно вычислить объем тела, ограниченного поверхностью Z=4-x²- y² и плоскостью Oxy?

A. V = πr²H, где r = 2, H = Z(x, y);

B. , где D область ограниченная линией x² + y²=4;

C. ;

D. ;

E. Ответ отличен от приведенных.

Литература

1. Ведина О. И., Десницкая В. Н., Варфоломеева Г. Б., Тарасюк А. Ф. Математика. Математический анализ для экономистов. Учебник / Под ред. А. А. Гриба и А. Ф. Тарасюка – М.: Информационно-издательский дом «Филинч», Рилант, 2006.

2. Ермаков В. И. и др. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник / Под ред. В. И. Ермакова – М.: ИНФРА – М, 2001.

3. Ермаков В. И. и др. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебник / Под ред. В. И. Ермакова – М.: ИНФРА – М, 2001.

4. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. Учеб. – 2-е издание испр. – М.: Дело, 2001.

5. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера, – М.: ЮНИТИ, 2005.

6. Кремер Н.Ш. и др. Практикум по высшей математике для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера, – М.: ЮНИТИ, 2005.

7. Кузнецов А. В. и др. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: Учебное пособие / А.В. Кузнецов, Д. С. Кузнецов, Е. И. Шилкина и др. – Мн.: Высшая школа, 2001.

8. Миселимян Т. Л. Тренировочные тесты по математике. Ч 1, 2. Уч.-мет. пособ.– Кр-р. 2006.

9. Миселимян Т. Л., Бабаянц Ю. В. Основы высшей математики. Функции нескольких переменных. Уч. пособ. для студентов экономических специальностей. – Кр-р. 2007.

10. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Бранков А. В., Шандра И.Г. Математика в экономике.Учеб. – 2-е издание перераб. и доп., Ч.1– М.: Финансы и статистика, 2006.

11. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Бранков А. В., Шандра И.Г. Математика в экономике.Учеб. – 2-е издание перераб. и доп., Ч.2– М.: Финансы и статистика, 2005.

12. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. – 7-е издание, стер. – М.: Высшая школа, 2005.

Учебное издание

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: