Лекция 4.3 «Функции нескольких переменных »

Вопросы:

1.Понятие двойного интеграла

Пусть функция определена и ограничена в замкнутой области . Разобьем эту область эту область на N элементарных частей D₁, D₂, …, D_N, таких, что . Для упрощения рассуждений это разбиение проведем прямыми, параллельными осям координат Ox и Oy (рис. 3) и будем считать область D выпуклой и все полные клетки имеют одинаковые размеры.

Рис 3.

Площадь части области D, покрытая неполными клетками, уменьшается при увеличении числа клеток разбиения, то есть при уменьшении размеров клеток. Пронумеруем клетки индексами i (i = 1,2,…,n) по горизонтали и j (j = 1,2,…,m) по вертикали (считая слева направо и снизу вверх). Клетка ∆_ij будет иметь длину ∆х_i по горизонтали и ∆y_j по вертикали и площадь, равную ∆х_i∆y_j, которая будет стремиться к нулю при ∆х_i→0 и ∆y_j→0.

В каждой элементарной части возьмем произвольную точку (ξ_i ;η_j) и составим выражение , которое называется интегральной суммой функции двух переменных. Обозначим через d – диаметр клетки, то есть наибольший линейный размер ее (в данном случае – длина диагонали клетки). Вычислим предел S_n при N→∞ (n→∞ и m→∞) и d→0. Если он существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные площадки и выбора точек (ξ_i ;η_j), то функция называется интегрируемой на множестве D, а само значение предела называется двойным интегралом функции на множестве D и обозначается .

Таким образом, по определению

= .

Рис. 4

Если функция непрерывна и неотрицательна в области D, то двойной интеграл представляет собой объем прямого цилиндрического тела, построенного на области D как на основании и ограниченного сверху поверхностью (рис. 4).

Если =1 для всех x, y из D, то численно равен площади области D.

Свойства двойного интеграла:

1. Если и интегрируемы в области D, то ± также интегрируема в D и ( ± )dxdy = ± .

2. Если интегрируема в области D, а C- const, то = С .

3. Пусть область D является объединением областей D₁ и D₂. Если функция интегрируема в области D, то она интегрируема в D₁ и D₂ и при этом = + .

4. Пусть определена и интегрируема в области D. Если ≥0 (х, у) D, то ≥0.

5. Пусть даны две функции и , определенные и интегрируемые в области D. Если (х, у) D ≥ , то ≥ .

6. Пусть определена и интегрируема в области D. Тогда ≤ .

Интегралы вида

и

называются повторными (или двукратными) и обычно записываются так

I₁= = , I₂= = ,

каждый из которых есть результат последовательного вычисления двух обыкновенных определенных интегралов.

Как правило, пределы при первом интегрировании являются переменными, зависят от той переменной, которая при этом рассматривается как постоянная. Пределы при втором интегрировании всегда постоянны. Геометрически эти пределы изображаются линиями, ограничивающими область D. В первом случае повторного интеграла это линии х = а, х = b,
у = у₁(х), у = у₂(х) (предположим, что эти функции непрерывны на отрезке [a, b]).

Область D в этом случае такова, что всякая прямая, параллельная оси Оу и проходящая через внутреннюю точку (точка не лежащая на границе области), пересекает границу области в двух точках N₁ и N₂. Такую область мы будем называть правильной в направлении оси Оу. Заметим, что вход в нее и выход осуществляется только одним способом, пересекая линии у = у₁(х) и у = у₂(х) (рис. 5).

Во втором случае повторного интеграла область D ограничена линиями у = с и у = d, х = х₁(у) и х = х₂(у) (предположим, что эти функции непрерывны на [c, d]). Область D такова, что всякая прямая, параллельная оси Ох и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области в двух точках М₁ и М₂. Такую область называем правильной в направлении оси Ох (рис. 6).

Рис. 5

Рис.6

Аналогично, как и в случае правильной области в направлении оси Оу, вход в эту область и выход осуществляется только одним способом, то есть пересекая линии х = х₁(у) и х = х₂(у).

Область, правильную как в направлении оси Оу, так и в направлении оси Ох, мы будем называть просто правильной областью D. Например, область D, ограниченная прямыми х = а, х = b, у = с, у = d, является правильной, так как все требования, указанные выше, выполняются.

Рис. 7.

Может случиться, что область D такова, что одна из функций, например у = у2(х), представляется не одним аналитическим выражением: Тогда область D разобьем на две правильные области D1 и D2 в направлении оси Оу. (рис.7). Повторный интеграл ID по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D1 и D2, то есть

I_D=I_D1+I_D2. (15)

Теорема. Двойной интеграл от непрерывной функции по правильной области D равен повторному (двукратному) интегралу от этой функции по области D, то есть

= .

Практические занятия

Семинарское занятие 4.1.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: